Амперов закон

Амперов закон (да не се поистоветува со Амперовиот закон за сила откирен од Андре-Мари Ампер во 1823 година^[1]) — ги сврзува интегрираното магнетно поле околу затворена јамка низ која минува електрична струја. Џејмс Кларк Максвел го извел користејќи хидродинамика во неговиот труд од 1861 година „За физичките линии на силата“^[2] и сега е дел од Максвеловите равенки, кои се основа на класичниот електромагнетизам.

Првичен Максвелов закон

Првичниот облик на Максвеловиот закон, кој бил изведен од негова страна во 1855 година во трудот „За Фарадеевите линии на сила“^[3] заснован на хидродинамиката, ги поистоветува магнетните полиња со електричната струја која ги создава. Го определува магнетното поле кое е поврзано со определена струја, или пак струјата е поврзана со одредено магнетно поле.

Првичниот закон во физиката е точен само при магнетостатски ситуации, каде системот е статичен освен континуирани стабилни струи во рамките на затворени контури. За системи со електрични полиња кои со текот на времето се менуваат, првичниот закон (како што е прикажан во секцијава) мора да биде изменет да содржи поим познат како Максвелова исправка (види долу).

Еквивалентни форми

Првичниот закон може да се запише во повеќе различни форми, кои се еквивалентни:

„Интегрална форма“ и „Диференцијална форма“. Формите се еквивалентни, и сврзани преку Келвин-Стоуксовата теорема.(see the "proof" section below)
Форми кои користат SI единици, и тие кои користат cgs единици. Други единици се можни, но ретки. Овој дел ќе користи SI единици, а cgs ќе бидат продискутирани подоцна.
Форми кои користат $B$ или $H$ магнетни полиња. Овие две форми ја користат вкупната густина на струјата и густината на слободната струја. $B$ и $H$ полиња се сврзани преку конституивна равенка: $B = μ 0 H$ каде $μ 0$ е магнетна константа.

Explanation

Интеграл формата на првичниот закон е линиски интеграл на магнетното поле околу некоја затворена косина $C$ (произволна, но мора да биде затворена). Косината $C$ in turn bounds both a surface $S$ which the electric current passes through (again arbitrary but not closed—since no three-dimensional volume is enclosed by $S$ ), and encloses the current. Математичката изјава на законот е врска помеѓу вкупната количина на магнетно поле околу некоја патека (линиски интеграл) поради струјата која поминува низ таа затворена патека (површински интеграл).^[4]^[5]

Во однос на вкупната струјата, (која е збир на слободна струја и ограничена струја) линискиот интеграл на магнетното $B$ -поле (во тесли, T) околу затворена косина $C$ е пропорционален со вкупната струја $I enc$ која минува низ површина $S$ (enclosed by $C$ ). Во однос на слободната струја, линискиот интеграл на магнетното $H$ -поле (во ампери на метар, A·m⁻¹) околу затворена косина $C$ е еднаков на слободната струја $I f,enc$ низ површина $S$ .

Форми на првичниот закон запишан во SI единици
	Интеграл форма	Диференцијална форма
Користејќи $B$ -поле и вкупна струја	$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {l}}=\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$
Користејќи $H$ -поле и слободна струја	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d{\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\cdot d\mathbf {S} =I_{\mathrm {f,enc} }$	$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }$

$J$ е вкупната густина на струја (во ампери на метар на квадрат метар, A·m⁻²),
$J f$ е само густината на слободната струја,
$\oint C$ е затворениот линиски интеграл околу затворената косина $C$ ,
$\iint S$ означува 2-D површински интеграл над $S$ затворен од $C$ ,
$\cdot$ е векторот скаларен производ,
$d l$ е бесконечно мал елемент (диференцијалот) на затворената косина $C$ (т.е. вектор со величина еднаква на должината на бесконечно мал линиски елемент, и насока дадена од тангенсот на косината.line element, and direction given by the tangent to the curve $C$ )
$d S$ е векторската плоштина на бесконечно мал елемент на површината $S$ (вектор со големина еднаква на плоштината на бесконечно малиот елемент на површината, и насока нормална на површината $S$ . Насоката на нормалата мора да одговара со ориентацијата на $C$ преку правилото на десната рака), see below for further explanation of the curve $C$ and surface $S$ .
$\nabla \times$ е ротацијален оператор.

Нејаснотии и знаци на конвенции

Има неколку нејаснотии во горните дефиниции на кои им е потребно појаснување и избор на конвенции.

Прво, три од овие поими се поврзани со двосмислености за знаците: линискиот интеграл $\oint C$ може да се движи околу контурата во правецот на часовникот или обратно; векторската плоштина $d S$ може да укаже во било која од двете насоки нормално до површината; и $I enc$ е мрежната струја што минува низ површината $S$ , тоа значи дека струјата која поминува во една насока, минус струјата во другата насока-но било која од двете насоки би можела да се земе за позитивна. Овие двосмислености се решаваат со правилото на десната рака: Со дланката на десната рака накај плоштината на интеграција, и показалецот да покажува по насоката на линиската интеграција, палецот покажува во правецот кој мора да биде одбран за вектор ната плоштина $d S$ . Струјата која минува во истата насока како и $d S$ мора да биде земена како позитивна.Правилото на десната рака исто така може да се искористи да се одредување на знаците.
Второ, постојат бесконечно многу површини $S$ кои ја имаат косината $C$ како нивна граница. (Замислете филтер за сапун на жичена јамка, која може да се деформира со поместување на жицата). Која од тие површини ќе биде одбрана? Ако јамката не лежи во една рамнина, на пример, нема еден очигледен избор. Одговорот е дека нема врска; може да се докаже дека било која површина со завршеток $C$ може да биде одбрана.

Слободна струја наспроти врзана струја

Електричната струја што се појавува во наједноставните ситуации во учебниците би била класифицирана како "слободна струја", на пример струјата која минува низ жица батерија. Во контраст, "врзана струја" се појавува во контекстот на рефус материјали кои можат да бидат магнетизирани и/или поларизирани. (Сите материјали можат до одреден степен.)

Кога материјалот е магнетизиран (на пример ставајќи го во надворешно магнетно поле), електроните остануваат врзани за нивните соодветни атоми, но се однесуваат како да кружат околу јадрото во одредена насока, создавајќи микроскопска струја. Кога струите од сите овие атоми се ставаат заедно, тие го создаваат истиот ефект како макроскопска струја, циркулирајќи постојано околу магнетизираниот објект. Оваа струја на магнетизација $J M$ е еден придонес кон "врзана струја".

Другиот извор на врзана струја е врзан полнеж. Кога ќе примениме електрично поле, позитивните и негативните врзани полнежи можат да се одделат над атомските растојанија во материјали кои можат да бидат поларизирани, и кога се движат врзаните полнежи, се менува поларизацијата, создавајќи уште еден придонес кон "врзаната струја", поларизационата струја $J P$ .

Вкупната густина на струјата $J$ поради слободни и врзани полнежи е тогаш:

\mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,

со $J f$ густина на слободната струја.

Сите струи се во основа исти, микроскопски гледано. Сепак, честопати има практични причина за тоа зошто би третирале врзана струја поразлично од слободна струја. На пример, врзаната струја обично потекнува од атомски димензии, и можеби ќе сакате да ја искористите поедноставната теорија наменета за поголеми димензии. Резултатот е дека што повеќе микроскопски Амперовиот закон, изразен во смисла на $B$ и микроскопската струја (кој вклучува слободни, магнетизирани и поларизациски струи), е некогаш ставен во еквивалентна форма подолу во смисла на $H$ и само слободната струја. За детална дефиниција за слободна струја и врзана струја и доказ дека двете формулации се еквивалентни, погледнете во делот за"докази" подолу.

Недостатоци на оригиналната формулација на законот

Постојат две важни прашања во врска со законот кои бараат поблизок надзор. Прво, постои проблем во врска со равенката на континуитет за електрични полнежи. Во векторскиот калкулус, идентитетот на дивергенцијата наведува дека дивергенцијата на векторското поле секогаш мора да биде нула. Од тука

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0\,,

и така првичниот Амперов закон укажува дека

\nabla \cdot \mathbf {J} =0\,.

Но, општо реалноста ја следи равенката на континуитет за електричен полнеж:

\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,,

која е нула за временски различна густина на полнеж. Еден пример се појавува во кондензаторско коло, каде што на плочите постои плазма со временски зависна густини на полнеж.^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]

Второ, постои проблем во врска со пропагирање на електромагнетни бранови. На пример, во слободен простор, каде

\mathbf {J} =\mathbf {0} \,.

Амперовиот закон покажува дека

\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} \,,

но, експерименти покажале дека

\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.

За да се третираат овие ситуации, придонесот на раселената струја мора да се додаде во актуелниот поим во Амперовиот закон.

Џејмс Кларк Максвел замислен од поместувачка струја како поларизациона струја во диелектричното вителско море, кое го искористил за да го моделира магнетното поле хидродинамички и механички.^[11] Тој ја додал поместувачката струја на Амперовиот закон во раценка 112 во неговиот труд од 1861 година On Physical Lines of Force.^[12]

Поместувачка струја

Во слободен простор, поместувачката струја е поврзана со временската брзина на промена на електричното поле.

Во диелектрик, исто така, е присутнен и горниот придонес во поместувачката струја, но голем придонес кон поместувачката струја е поврзан со поларизацијата на поединечните молекули на диелектричниот материјал. Иако полнежите не можат слободно да проток во диелектрик, полнежите во молекулите може да се движат малку под влијание на електричното поле. Позитивните и негативните полнежи во молекулите се одделуваат под применетото поле, што предизвикува зголемување на состојбата на поларизација, изразена како поларизационата густина $P$ . Променливата состојба на поларизација е еквивалентна на струја.

Двата придонеси за поместувачката струја се комбинираат со дефинирање на поместувачката струја како:^[6]

\mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\,t)\,,

кога електричното поместувачко поле е дефинирано како:

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\mathbf {E} \,,

каде $ε 0$ е електричната константа, $ε r$ релативната статичка диелектричност, и $P$ е густината на поларизација. Заменувајќи ја оваа форма за $D$ во изразот за поместувачка струја, има две компоненти:

\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.

Првиот поим на десната страна е присутна насекаде, дури и во вакуум. Тоа не вклучува никакво вистинско движење на полнење, но сепак има поврзано магнетно поле, како да е вистинска струја. Некои автори го припишуваат името поместување струја само на овој придонес.^[13]

Вториот поим на десната страна е поместувачката струја како што првично беше замислена од Максвел, поврзана со поларизацијата на поединечните молекули на диелектричниот материјал.

Првичното објаснување на Максвел за поместувачката струја се фокусираше на ситуацијата што се јавува во диелектричните медиуми. Во модерната по-естерска ера, концептот е проширен да се примени на ситуации без материјални медиуми присутни, на пример, на вакуум помеѓу плочите на полнечки вакуум кондензатор. Поместувачката струја е оправдано денес, бидејќи служи за неколку барања на електромагнетната теорија: правилно предвидување на магнетни полиња во региони каде што нема проток на струја; предвидување на бран пропагирање на електромагнетни полиња; и конзервација на електричен полнеж во случаи кога густината на полнеж е временски различна. За поголема дискусија погледнете Поместувачка струја.

Проширување на првичниот закон: Максвел-Амперовата равенка

Потоа, равенката е проширена со вклучувањето на поларизационата струја, со што се поправа ограничената применливост на првичниот закон.

Третирајќи слободни полнежи одделно од врзани, равенката вклучувајќи ја Максвеловата исправка во однос на $H$ -поле е $H$ -поле се користи бидејќи ги влкучува магнетазиционите струи, па така $J M$ не се појавува експлицитно, погледнете $H$ -поле и Забелешка):^[14]

\oint _{C}\mathbf {H} \cdot {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

(интегрална форма), каде $H$ е магнетното $H$ поле (исто така наречен "помошно магнетно поле", "интензитет на магнетното поле" или само "магнетно поле"), $D$ е електричното поместувачко поле, и $J f$ е затворена струја на спроводливост или густина на слободна струја. Во диференцијална форма,

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,.

Од друга страна, третирањето на сите обвиненија на иста основа (без оглед дали се врзани или бесплатни давачки), генерализираната Амперова равенка, исто така наречена Максвел-Амперова равенка, е во интегрална форма (погледнете "доказ" делот подолу):

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

Во диференцијална форма,

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Во двете форми $J$ вклучува струја на магнетизацијата густина^[15] како и густината на спроводливоста и поларизацијата. Тоа е, густината на струјата на десната страна на равенката Ампер-Максвел е:

\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {D} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,

каде густина на струја $J D$ е поместувачката струја, и $J$ е придонесот на моменталната густина, всушност, поради движењето на давачките, и слободни и врзани. Бидејќи $\nabla \cdot D = ρ$ , проблемот со континуитет на полнежот со оригиналната формулација на Ampère веќе не е проблем.^[16] Поради терминот во $ε 0 \partial E \partial t$ , сега е возможно да се шири бран во слободен простор.

Со додавањето на струјата на поместување, Максвел успеа да претпостави (правилно) дека светлината е форма на електромагнетни бранови. Види електромагнетна бранова равенка за дискусија за ова важно откритие.

Доказ за еквивалентност

Доказ дека формулациите на кружен законик во смисла на слободна струја се еквивалентни на формулациите кои вклучуваат тотална струја.

Во овој доказ, ќе покажеме дека равенката

\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

е еквивалетно со равенката

{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.

Имајте на ум дека ние се занимаваме само со диференцијалните форми, а не со интегралните форми, но тоа е доволно, бидејќи диференцијалните и интегралните форми се еквивалентни во секој случај, од теоријата на Келвин-Стоукс.

Ја воведуваме поларизационата густина $P$ , која ја има следнава врска $E$ и $D$ :

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,.

Следно, воведуваме густина на магнетизација $M$ , која ја има следнава врска со $B$ и $H$ :

{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M}

и следнава врска со врзаната струја:

{\begin{aligned}\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\,,\end{aligned}}

каде

\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} \,,

е наречена густина на струја на магнетизација, и

\mathbf {J} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,,

е густина на струја на поларизација. Преземајќи на равенката за $B$ :

{\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {\nabla } \times \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\\&=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} +\mathbf {J} _{\mathrm {M} }\\&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} _{\mathrm {M} }\,.\end{aligned}}

Следствено, се однесува на дефиницијата на врзаната струја:

{\begin{aligned}{\frac {1}{\mu _{0}}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )&=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\&=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,,\end{aligned}}

како што требаше да биде прикажано.

Амперовиот закон во cgs единици

Во cgs единици, интегралната форма на равенката, вклучувајќи ја Максвеловата корејција е

\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,

каде $c$ е брзината на светлината.

Диференцијалната форма на равенката (повторно вклучувајќи ја Максвеловата исправка) е

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\,.

Поврзано

Белешки

↑ Ampère never utilized the field concept in any of his works; cf. Assis, André Koch Torres; Chaib, J. P. M. C; Ampère, André-Marie (2015). Ampère's electrodynamics: analysis of the meaning and evolution of Ampère's force between current elements, together with a complete translation of his masterpiece: Theory of electrodynamic phenomena, uniquely deduced from experience (PDF). Montreal, QC: Apeiron. ch. 15 p. 221. ISBN 978-1-987980-03-5. The "Ampère circuital law" is thus more properly termed the "Ampère–Maxwell law." It is named after Ampère because of his contributions to understanding electric current. Maxwell does not take Ampère's force law as a starting point in deriving any of his equations, although he mentions Ampère's force law in his A Treatise on Electricity and Magnetism vol. 2, part 4, ch. 2 (§§502-527) & 23 (§§845-866).
↑ Clerk Maxwell, James. „On Physical Lines of Force“.
↑ Clerk Maxwell, James. „On Faraday's Lines of Force“.
↑ Knoepfel, Heinz E. (2000). Magnetic Fields: A comprehensive theoretical treatise for practical use. Wiley. стр. 4. ISBN 0-471-32205-9.
↑ Owen, George E. (2003). Electromagnetic Theory (Reprint of 1963. изд.). Courier-Dover Publications. стр. 213. ISBN 0-486-42830-3.
↑ ^6,0 ^6,1 Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3. изд.). Wiley. стр. 238. ISBN 0-471-30932-X.
↑ Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3. изд.). Pearson/Addison-Wesley. стр. 322–323. ISBN 0-13-805326-X.^{[мртва врска]}
↑ Owen, George E. (2003). Electromagnetic Theory. Mineola, NY: Dover Publications. стр. 285. ISBN 0-486-42830-3.
↑ Billingham, J.; King, A. C. (2006). Wave Motion. Cambridge University Press. стр. 179. ISBN 0-521-63450-4.
↑ Slater, J. C.; Frank, N. H. (1969). Electromagnetism (Reprint of 1947. изд.). Courier Dover Publications. стр. 83. ISBN 0-486-62263-0.
↑ Siegel, Daniel M. (2003). Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. стр. 96–98. ISBN 0-521-53329-5.
↑ Clerk Maxwell, James (1861). „On Physical Lines of Force“ (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science.
↑ For example, see Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 323. ISBN 0-13-805326-X. and Tai L. Chow (2006). Introduction to Electromagnetic Theory. Jones & Bartlett. стр. 204. ISBN 0-7637-3827-1.
↑ Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Advanced University Physics. CRC Press. стр. 267. ISBN 1-58488-511-4.
↑ Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Advanced University Physics. CRC Press. стр. 251. ISBN 1-58488-511-4.
↑ The magnetization current can be expressed as the curl of the magnetization, so its divergence is zero and it does not contribute to the continuity equation. See magnetization current.

Дополнителна литература

Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.

Надворешни врски

Simple Nature by Benjamin Crowell Архивирано на 30 април 2010 г. Ampere's law from an online textbook
MISN-0-138 Ampere's Law PDF file by Kirby Morgan for Project PHYSNET.
MISN-0-145 The Ampere–Maxwell Equation; Displacement Current (PDF file) by J.S. Kovacs for Project PHYSNET.
The Ampère's Law Song (PDF file) by Walter Fox Smith; Main page, with recordings of the song.
A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864

[1] Ampère never utilized the field concept in any of his works; cf. Assis, André Koch Torres; Chaib, J. P. M. C; Ampère, André-Marie (2015). Ampère's electrodynamics: analysis of the meaning and evolution of Ampère's force between current elements, together with a complete translation of his masterpiece: Theory of electrodynamic phenomena, uniquely deduced from experience (PDF). Montreal, QC: Apeiron. ch. 15 p. 221. ISBN 978-1-987980-03-5. The "Ampère circuital law" is thus more properly termed the "Ampère–Maxwell law." It is named after Ampère because of his contributions to understanding electric current. Maxwell does not take Ampère's force law as a starting point in deriving any of his equations, although he mentions Ampère's force law in his A Treatise on Electricity and Magnetism vol. 2, part 4, ch. 2 (§§502-527) & 23 (§§845-866).

[2] Clerk Maxwell, James. „On Physical Lines of Force“.

[3] Clerk Maxwell, James. „On Faraday's Lines of Force“.

[Knoepfel-4] Knoepfel, Heinz E. (2000). Magnetic Fields: A comprehensive theoretical treatise for practical use. Wiley. стр. 4. ISBN 0-471-32205-9.

[Owen-5] Owen, George E. (2003). Electromagnetic Theory (Reprint of 1963. изд.). Courier-Dover Publications. стр. 213. ISBN 0-486-42830-3.

[Jackson-6] 6,0 ^6,1 Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3. изд.). Wiley. стр. 238. ISBN 0-471-30932-X.

[Griffiths-7] Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3. изд.). Pearson/Addison-Wesley. стр. 322–323. ISBN 0-13-805326-X.^{[мртва врска]}

[Owen0-8] Owen, George E. (2003). Electromagnetic Theory. Mineola, NY: Dover Publications. стр. 285. ISBN 0-486-42830-3.

[King-9] Billingham, J.; King, A. C. (2006). Wave Motion. Cambridge University Press. стр. 179. ISBN 0-521-63450-4.

[Slater-10] Slater, J. C.; Frank, N. H. (1969). Electromagnetism (Reprint of 1947. изд.). Courier Dover Publications. стр. 83. ISBN 0-486-62263-0.

[Siegel-11] Siegel, Daniel M. (2003). Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. стр. 96–98. ISBN 0-521-53329-5.

[12] Clerk Maxwell, James (1861). „On Physical Lines of Force“ (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science.

[Griffiths1-13] For example, see Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 323. ISBN 0-13-805326-X. and Tai L. Chow (2006). Introduction to Electromagnetic Theory. Jones & Bartlett. стр. 204. ISBN 0-7637-3827-1.

[Palmer-14] Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Advanced University Physics. CRC Press. стр. 267. ISBN 1-58488-511-4.

[Palmer2-15] Rogalski, Mircea S.; Palmer, Stuart B. (2006). Advanced University Physics. CRC Press. стр. 251. ISBN 1-58488-511-4.

[curl-16] The magnetization current can be expressed as the curl of the magnetization, so its divergence is zero and it does not contribute to the continuity equation. See magnetization current.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]