Био-Саваров закон

Био-Саваров^[1] — равенка која го опишува магнетното поле создадено од електричната струја. Таа го поврзува магнетното мполе по големина, насока должина и близина до електричната струја. Законот важи како магнетостатска приближност, и е во согласност со Амперов закон и Гаусовиот закон за магнетизмот.^[2] Именуван е според Жан-Батист Био и Феликс Савар кој ја откриле оваа законитост во 1820 година.

Равенка

Електрични струи (по должина на закриваена права)

Био-Саваровиот закон се користи за пресметувањер на вкупното магнетно поле B во местоположбата r создадено од постојана струја I (на пример жица): постојаниот тек на полнежот кој е постојан по време и по полнеж ниту се насобира ниту пак се губи во која било точка. Законот е физички пример за линиски интеграл, кој се проценува по патеката C во која што тече електричната струја. Равенката во SI единици е:^[3]

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$

каде $d\mathbf {l}$ што векторот чија магнитуда е должина на диференцијал елемент на жица во правец на конвенционална струја, $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -\mathbf {l}$ , целосно поместување на вектор од елементот од жица ( $\mathbf {l}$ ) до точката во која полето се пресметува ( $\mathbf {r}$ ), и μ₀ е магнетна константа. Алтернативно:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}

каде $\mathbf {{\hat {r}}'}$ е единечен вектор на $\mathbf {r'}$ . Болдираните симболи се означени векторски големини.

Интегралот е вообичаено околу затворена крива, каде електричните струи можат само да течат околу затворени патеки. Бесконечно долга жица (пример е дефинирањето на основната SI единица за јачина на струјата Ампер) е пак спротивен пример.

За да се примени равенката, точката во просторот која може да се пресмета каде магнетното поле се избира произволно ( $\mathbf {r}$ ). Сметајќи дека точката е статична линискиот интеграл за патеката за електричните струи се персметува за да определи вкупното магнетно поле во таа точка. Примената на овој закон имплицитно се заснова на принципот на суперпозиција за магнетните полиња, т.е. магнетното поле е векторски збир од полињата создадени од секој бесконечно мал дел на жицата.^[4]

Постои и 2D верзија на Био-Саваровата равенка, која се користи кога изворите се непроменливи во една насока. Треба да се има предвид дека струјата нема потреба да протекува само во рамнината нормална на непроменливата насока и истата се запишува со ознаката $\mathbf {J}$ . Крајната равенка е:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dl)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{2}}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dl)\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|}}

Електрични струи(низ зафатнината на проводник)

Записите од погоре функционираат добро кога струјата се зема да тече низ бесконечно тенка жица. Доколку проводникот има одредена зафатнина, соодветен запис за Био-Саваровиот закон би бил:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

или, поинаку:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

каде $dV$ е зафатнинскиот елемент и $\mathbf {J}$ е векторот на густината на струјата во таа зафатнина (во SI единици тоа е: A/m²).

Био-Саваровиот закон е од основно значење за магнетостатиката, имајќи слична улога како и Кулоновиот закон во електростатиката. Кога магнетостатиката не важи, Био-Саваровиот закон треба да се замени со Ефименковите равенки.

Постојана непроменлива струја

Во специјални случаи постојаната непроменлива струја I, во магнетно поле $\mathbf {B}$ е:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d\mathbf {l} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}

т.е. струјата може да се извади надвор од интеграл.

Точкест полнеж со постојана брзина

Во случај на точкеста наелектризирана честичка q која се движи со константна брзина v, Максвеловите равенки ги даваат следниве изрази за електричното и магнетното поле:^[5]

\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E}

каде $\mathbf {\hat {r}} '$ е единичен вектор со насока од моменталната положба на честичката до точката каде се мери полето, а θ е аголот меѓу $\mathbf {v}$ и $\mathbf {r} '$ .

Кога v² ≪ c², електричното и магнетното поле може приближно да се запишат како ^[5]

\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

Овие равенки го претставуваат Био-Саваровиот закон за точкест полнеж ^[6] поради блиската аналогност со стандардниот Био-Саваров закон зададен погоре. Овие равенки првпат биле изведени од Оливер Хевисајд во 1888.

Примена на магнетната реактивност

Био-Саваровиот закон може да се употреби за пресметување на магнетните реактивности дури и на атомско или молекуларно ниво. На пример може да се пресметаат хемиските заштити или магнетната сусцептибилност, под услов густината на струјата пресметана преку квантномеханичката теорија.

Примена во аеродинамиката

Сликата ја покажува брзината (

dV

) во точката P како елемент од вртложена жица (

dL

) of strength

\Gamma

.

Био-Саваровиот закон исто така се употребува во аеродинамичката теорија за да се пресмета брзината предизвикана од вртложните сили.

Во аеродинамиката улогите на вителноста и струјата се спротивни во споредба со магнетната примена. Во Максвеловиот труд од 1861 'On Physical Lines of Force',^[7] силата на магнетното поле H била дирекно изедначена со вителноста (спин), каде B е тежинската вителност која е еден вид на густина за вртложното море. Макцвел сметал дека магнетната пермеабилност μ е мерка за густината на вртложното море. Па и оттука и врската,

Магнетна индукциона струја
$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$
станува збор за вртложена сличност меѓу линиската електрична струја,
Електричен тек на струјата
$\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$
каде ρ е густината на електричниот полнеж. B се сметало за еден вид на магнетна струја на витли подредени по оските на рамнините, каде H е кружната брзина на витлите.

Оваа равенка за електричната струја може да се смета за проточна струја на електричниот полнеж при што се вклучува и линиското движење. Слично, и магнетната равенка е индуктивната струја која вклучува спин.Не постои линиско движење кај индуктивната струја по насоката на векторот B. Магнетната индуцирана струја ги претставува линиите на силата. Особено ги претставува линиите на обратно пропорционалниот закон за силата.

Во аеродинамиката индуцираните воздушни струења создаваат соленоидни прстени околу вртложната оска која ја има улогата на струјата во магнетизмот. Ова доведува струењата во аеродинамиката да ја имаат истата улога како и векторот на магнетната индукција B во електромагнетизмот.

Во електромагнетизмот линиите на векторот B создаваат соленоидни прстени околу изворот на електричната струја, додека пак во аеродинамиката со воздушните струења создаваат соленоидни прстени околу изврот по вртложната оска.

Па така во електромагнетизмот, вителот ја има улогата на ефект, додека пак аеродинамиката ја има улогата на причина. Може да се согледа дека линиите на векторот B изолирани се подеднакво слични со оние во аеродинамиката на таков начин што векторот B е вртложната оска и H е кружната брзина баш онака како што е во Максвеловиот труд од 1861.

Во две димензии, вртложната линија при бесконечна мала должина, и индуцираната брзина во точката е определена со:

v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}

каде Γ е силата на вителот и r е нормалното растојание меѓу точката и вртоложната линија.

Ова е граничен случај на равенката за отсечоци на вителот со конечни должини:

v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]

каде A и B се аглите меѓу линијата и двата краја на отсечокот.

Био-Саваров закон, Амперов закон и Гаусов закон за магнетизам

Кога се разгледува магнетостатична ситуација, магнетното поле B пресметано од Био-Саваровиот закон секогаш ќе биде во склад со Гаусовиот закон за магнетизам и Амперовиот закон:^[8]

Доказ ^[8] (Кликнете „прикажи“ на десно.)

Започнувајќи со Био-Саваровиот закон:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}

Одземајќи го изразот:

{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)

и користејќи го правилото за множење за ротори, како и фактот дека J не зависи од $\mathbf {r}$ , оваа равенка може да се презапише како ^[8]

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}l{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {l} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}

Бидејќи дивергенцијата на роторот е секогаш нула, се воспоставува Гаусовиот закон за магнетизам. Следно, земајќи го роторот од двете страни и користејчи ја равенката за ротор на ротор, и уште еднаш употрбувајќи го фактот дека J не зависи од $\mathbf {r}$ , при што се добива резултатот ^[8]

\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)

И на крај, вметнувајќи ги овие записи ^[8]

\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)=-\nabla _{l}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right),

\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {l} )

(каде δ е Дираковата делта функција), и користејќи го фактот дека дивергенцијата на J е нула, и коритејќи парцијална интеграција, се добива резултатот ^[8]

\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}

т.е. Амперовиот закон. (Поради претпоставката на магнетостатиката, $\partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0}$ , па така нема дополнителен услов во Амперовиот закон.

Во немагнетна ситуација, Био-Саваровиот закон престанува да биде вистинит (се заменува со Ефименковите равенки), додека пак Гаусовиот закон за магнетизам и Амперовиот закон се сè уште важечки.

Поврзано

Личности

Електромагнетизам

Наводи

↑ "Biot-Savart law" Архивирано на 2 април 2015 г.. Random House Webster's Unabridged Dictionary.
↑ Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3. изд.). New York: Wiley. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.
↑ Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
↑ Принципот за суперпозиција важи за електричните и магнетните полиња бидејќи тие се решенијата за збирот од линиските диференцијални равенки, воглавно за Максвеловите равенки, каде струјата е еден од „појдовните поими“.
↑ ^5,0 ^5,1 Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. стр. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.
↑ „архивски примерок“. Архивирано од изворникот на 2009-06-19. Посетено на 2016-03-25.
↑ Maxwell, J. C. „On Physical Lines of Force“ (PDF). Wikimedia commons. Посетено на 25 December 2011.
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 See Jackson, page 178–79 or Griffiths p. 222–24. The presentation in Griffiths is particularly thorough, with all the details spelled out.

Надворешни врски

Electromagnetism Архивирано на 3 јуни 2011 г., B. Crowell, Fullerton College
MISN-0-125 The Ampère–Laplace–Biot–Savart Law by Orilla McHarris and Peter Signell for Project PHYSNET.

[1] "Biot-Savart law" Архивирано на 2 април 2015 г.. Random House Webster's Unabridged Dictionary.

[2] Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3. изд.). New York: Wiley. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.

[3] Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

[4] Принципот за суперпозиција важи за електричните и магнетните полиња бидејќи тие се решенијата за збирот од линиските диференцијални равенки, воглавно за Максвеловите равенки, каде струјата е еден од „појдовните поими“.

[Griffiths-5] 5,0 ^5,1 Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. стр. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.

[6] „архивски примерок“. Архивирано од изворникот на 2009-06-19. Посетено на 2016-03-25.

[7] Maxwell, J. C. „On Physical Lines of Force“ (PDF). Wikimedia commons. Посетено на 25 December 2011.

[GaussAmpereProof-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 See Jackson, page 178–79 or Griffiths p. 222–24. The presentation in Griffiths is particularly thorough, with all the details spelled out.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]