Штајнер-Лемусова теорема

Штајнер-Лемусова теорема — теорема од елементарната геометрија. Била формулирана од Даниел Лемус, а подоцна била докажана од Јакоб Штајнер. Таа гласи:

${\overline {AE}}={\overline {BD}},\,\alpha =\beta ,\,\gamma =\delta$ $\implies \triangle ABC{\text{ e рамнокрак}}$

Секој триаголник кај кој бисектрисите на два негови агла се со еднакви должини е рамнокрак.

Теоремата прв пат била спомната во 1840 година во писмо од К. Л. Лемус испратено до Жак Шарл Франсоа Штурм, во кое тој за неа побарал чист геометриски доказ. Штурм им ја препратил оваа задача на други математичари и Штајнер бил помеѓу првите кои дале нејзино решение. Теоремата оттогаш станала многу популарна тема во елементарната геометрија и редовно биле печатени трудови кои се однесуваат на неа.

Директни докази

Штајнер-Лемусовата теорема може да се докаже со користење на елементарна геометрија преку докажување со претпоставка на спротивното (контрапозитивен исказ). Постојат контроверзии околу тоа дали е возможно да се даде „директен“ доказ; наводно постојат „директни“ докази и биле публикувани, но не се согласуваат сите со тоа дека овие докази се „директни“. На пример, постојат прости алгебарски изрази за бисектрисите на аглите изразени преку страните на триаголникот. Со изедначување на овие изрази и алгебарски манипулации на резултатите добиени од равенката, се добива производ на два множитела еднаков на 0. Но, само едниот од нив (a − b) може да биде еднаков на 0, а другиот мора да биде позитивен. Значи, a = b. Но, овој доказ не смее да се смета дека е директен бидејќи најпрвин мора да се образложи зошто другиот множител не може да биде  0. Џон Хортон Конвеј има образложено дека не може да има доказ во кој се „брка равенството“ бидејќи теоремата (поставена алгебарски) не е точна во произволно поле, или дури и ако како параметри се дозволени негативни реални броеви. Прецизната дефиниција на „директен доказ“ и во класичната и во интуиционистичката логика била дадена од Виктор Памбучјан, кој докажал, без да презентира директни докази, дека директните докази мора да постојат како во поставките на класичната така и во системот на интуиционистичката логика.

Надворешни врски

• „Steiner–Lehmus theorem“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Paul Yiu: Euclidean Geometry Notes, Lectures Notes, Florida Atlantic University, pp. 16–17
• Torsten Sillke: Steiner–Lehmus Theorem, широка компилација на докази на мрежно место на Униврзитетот во Билефелд (University of Bielefeld)