Рамномерна распределба

Рамномерна распределба (униформна распределба) — модел на веројатносна распределба. Таа е многу едноставна и има примена во голем број на апликации, игри на среќа и компјутерски симулации. Секоја вредност на X (случајна променлива) има еднаква веројатност за реализирање. Ова е основна особина на рамномерната распределба.

При проверка на хипотези со хи-квадратна проверка во облик на распределба се користи ваков вид на распределба, т.е. рамномерна распределба.

Рамномерната распределба е непараметарска распределба.

Оваа распределба може да биде прекината (дискретна, дисконтинуирана) или непрекината (континуирана).

Прекината рамномерна распределба

Главна статија: Прекината рамномерна распределба

Ако анализираме едно множество A, кое се состои од вкупно n елементи (n е конечен број на различните вредности кои може да ги земе случајната променлива Х) и притоа веројатноста да се извлече еден од елементите е еднаква со веројатноста да се извлече било кој друг елемент од множеството, станува збор за дискретна рамномерна распределба. Со математичка формула едноставно може да се пресмета веројатноста да се добие некој од елементите во множеството А:

$P(X=x)={\frac {1}{n}}$

Ако земеме еден график каде на апцисата се наоѓаат вредностите кои може да ги земе непознатата променлива Х, а на ординатата се нанесени веројатностите на соодветните вредности на Х, ќе го добиеме следниот дијаграм. (погледни слика 1)

Слика 1

За да се пресмета аритметичка средина на рамномерната распределба се користи истата формула како и за пресметка на очекувана вредност:

$M=E(X)={\frac {n+1}{2}}$

Варијанса на рамномерната распределба се пресметува со следната формула:

${\sigma }^{2}={\frac {n^{2}-1}{12}}$

Пример: Правиме опит (експеримент) со фрлање коцка. При фрлање на коцката секоја страна има иста веројатност да се појави заедно со соодветниот број на страната (од 1 до 6). Поради овој факт станува збор за рамномерна распределба. Случајната променлива Х може да ги земе вредностите во интервал од 1 до 6. Поради тоа, веројатноста да се појави било која страна од коцката е еднаква на 1/6. На пример веројатноста да падне бројот 1 е иста со веројатноста да падне било кој друг број.

$X=1,2,3,4,5,6$

$P(X=x)={\frac {1}{n}}={\frac {1}{6}}=0,166666667$

Непрекината рамномерна распределба

Главна статија: Непрекината рамномерна распределба

Во статистиката и теоријата на веројатност непрекинатата рамномерна распределба може да се објасни на следниот начин. Случајната променлива може да се реализира помеѓу интервал од а до b (каде a е помало од b), притоа веројатноста случајната променлива да земе некоја од вредностите во тој интервал е еднаква на:

$F(x)={\frac {1}{b-a}}$

за

$a\leq X\leq b$

Заклучуваме дека веројатноста да ја избереме било која вредност од интервалот е иста. Додека веројатноста да избереме вредност надвор од интервалот е 0. Кога вредноста на случајната променлива е во определениот интервал многу често се случува веројатноста да е многу блиску до 0. Тоа се случува поради големиот број вредности кои можат да земат место во некој интервал, всушност помеѓу било кои 2 броја може да се постават бесконечно многу други броеви.

Графички приказ на веројатноста на оваа функција е даден на слика 2.

Слика 2

Лесно е да се заклучи дека површината под сината крива на слика број 2 изнесува 1. Тоа претставува збир на веројатностите за сите можни вредности на реализација на случајната променлива Х.

Аритметичка средина, а воедно и очекувана ведност на оваа распределба се пресметува со следната формула:

$M=E(X)={\frac {a+b}{2}}$

Аритметичката средина претставува точка во средината на интервалот (од a до b) во кој случајнта променлива Х може да земе вредност.

Варијансата на непрекинатата рамномерна распределба се пресметува со формулата:

${\sigma }^{2}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$

Кога a=0 и b=1 станува збор за стандардна рамномерна распределба. Равенката за оваа распределба гласи:

$F(x)=1$

ПРИМЕР:

Процесот генератор претставува множество на инструкции кој генерира случајни вредности за определен процес или распределба. Excel има функција наречена RAND кој создава вредности помеѓу 0 и 1 што одговара на униформната дистрибуција. Excel xp користи непрекината рамномерна распределба за развивање на други распределби.

Без разлика колку пати експеримент се повторува, веројатноста дека вредноста се појавува во која било дадена ќелија е иста. Овие резултати се приближни на рамномерната распределба. А униформната дистрибуција претпоставува дека веројатноста за добивање на број, кој спаѓа во границите помеѓу два броја е иста како онаа на добивање на било кој друг број во тој опсег.