Трансконечен број

Трансконечните броеви (или трансфинитни броеви) — кардинални или редни броеви што се поголеми од сите конечни броеви, но не мора да бидат апсолутно бесконечни. Поимот „трансконечни броеви“ е кованка на математичарот Георг Кантор (1845-1918), кој со ова сакал да избегне погрешно толкување на бесконечноста на овие објекти, иако тие не се конечни. Денес е прифатено трансконечните броеви да се нарекуваат „бесконечни“, но првиот поим е сепак позастапен.

Дефиниција

Како и конечните броеви, трансконечни броеви можат да се претстават на два начина: како редни и како кардинални броеви. За разлика од конечните редни и кардинални броеви, трансконечните дефинираат различни класи на броеви.

• ω (омега) се дефинира како најмалиот трансконечен реден број и е од поредочниот тип на природните броеви по нивното вообичаено линеарно подредување.

• Алеф-нула, $\scriptstyle {\aleph _{0}}$, се дефинира како првиот трансконечен кардинален број и претставува кардиналност на бесконечното множество на природни броеви. Ако важи аксиомата за избор, следниот повисок кардинален број е алеф-еден, $\scriptstyle {\aleph _{1}}$. Ако не, може да има други кардинални броеви што се неспоредливи со алеф-еден, а поголеми од алеф-нула. Во секој случај, помеѓу алеф-еден и алеф-нула не постојат кардинални броеви .

Хипотезата за постојаното вели дека не постојат кардинални броеви помеѓу алеф-нула и кардиналноста на постојаното (множеството реални броеви): that is to say, алеф-еден е кардиналноста на множество реални броеви. (Ако е доследна Цермело-Френкеловата теорија на множествата, тогаш од Цермело-Френкеловата теорија не можат да се докаже ниту хипотезата за постојаното, ниту нејзината негација.)

Некои автори како Сапс и Рубин го користат поимот „трансконечен кардинален број“ за кардиналноста на едно Дедекинд-бесконечно множство, во контекст каде поимот не е истоветен со поимот „бесконечен кардинален број“ - во контекст кајшто аксиомата за преброив избор не е претпоставена или не се знае дали важи. Според оваа дефиниција, сите овие се истоветни (еквивалентни):

• m е трансконечен кардинален број, т.е. има Дедекинд-конечно множество A каде кардиналноста на A е m.
• m + 1 = m.
• $\scriptstyle {\aleph _{0}}$ ≤ m.
• постои кардинален број n каде $\scriptstyle {\aleph _{0}}$ + n = m.

Поврзано

• Алеф-број
• Бет-број
• Кардинален број
• Бесконечно мал број (инфинитезимал)
• Бесконечно множество
• Трансконечна индукција

Надворешни врски

• „За конечното и бесконечното“ Архивирано на 18 јуни 2021 г. со објасненија за трансконечните броеви - Центар за инженерска математика, ФЕИТ - Скопје (македонски)

Наводи

• Levy, Azriel, 2002 (1978) Basic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
• O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor" - MacTutor History of Mathematics archive.
• Rubin, Jean E., 1967. "Set Theory for the Mathematician". San Francisco: Holden-Day.
• Rudy Rucker, 2005 (1982) Infinity and the Mind. Princeton Univ. Press. ISBN 978-0691001722.
• Patrick Suppes, 1972 (1960) "Axiomatic Set Theory". Dover. ISBN 0-486-61630-4.