Теорија на веројатноста

Теорија на веројатноста — гранка на математиката која се занимава со изучување на веројатноста, односно анализа на случајни појави.

Дијаграм на можните комбинации при фрлање на две коцки

Математиката ја предочува веројатноста на некој настан (чие настапување е случајно) како реален број од затворениот интервал од 0 до 1. Веројатностите $P(A)$ им се препишуваат на настани $A$ според аксиомите на веројатноста.

Веројатноста дека тој настан $A$ ќе се случи под услов на познатото случување на настанот $B$ е условна веројатност на $A$ под услов $B$; неговата бројчена вредност е $P(A\cap B)/P(B)$ (сè додека $P(B)$ не е нула). Ако условната веројатност на $A$ под услов $B$ и иста што и („безусловната“) веројатност на $A$, тогаш $A$ и $B$ се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу $A$ и $B$ е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ каде A и B се независни настани.

Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се случајната променлива и веројатносна распределба на случајна променлива.

Поапстрактен поглед на веројатноста

Дијаграм на стандардно отстапување

Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е секоја тројка $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, каде

• $\Omega$ е празно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
• ${\mathcal {F}}$ е σ-алгебра на подмножества на $\Omega$ - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека ${\mathcal {F}}$ е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи $\Omega$, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.
• $P$ е мера на веројатност на ${\mathcal {F}}$, т.е., мера кај која $P(\Omega )=1$.

Треба да се спомене дека $P$ е функција дефинирана на ${\mathcal {F}}$, а не на $\Omega$, и често не сочинуваат ни булеан ${\mathcal {F}}=\mathbb {P} (\Omega )$. Не секое множество исходи претставува настан.

Ако $\Omega$ е преброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме ${\mathcal {F}}$ како булеан на $\Omega$, т.е. ${\mathcal {F}}=\mathbb {P} (\Omega )$ кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со $\Omega$. Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме ${\mathcal {F}}$ и да напишеме само $(\Omega ,P)$ за да го дефинираме. Во друг случај, ако $\Omega$ е непреброиво множество и користиме ${\mathcal {F}}=\mathbb {P} (\Omega )$, тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста $P$ заради тоа што ${\mathcal {F}}$ е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра ${\mathcal {F}}$ (на пр. Борелова алггебра на $\Omega$, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).

Случајна променлива $X$ е измерлива функција на $\Omega$. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.

Ако $X$ е било која случајна променлива, нотацијата $P(X\geq 60)$, е стенографија за $P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\geq 60\})$, под претпоставка дека „$X\geq 60$“ е „настан“.

За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.

Библиографија

• Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
• Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
• Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
• Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
• Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
• Henk Tijms (2004) Understanding Probability

Поврзано

• Веројатност
• Случајност
• Стохастика