Студентова t-распределба

Студентовата t-распределба е модел на непрекината распределба на веројатноста. Оваа распределба била развиена од Вилијам Сили Госет, ирско-англиски статистичар кој своите трудови од областа на статистиката ги објавувал под псевдонимот „Student”. Работата на Госет во Guinness, пиварница во Даблин, му го насочила вниманието кон важноста на малите примероци. Идејата на Госет била добие подобра распределба на веројатноста за примероци кои се сочинети од мал број статистички единки.Студентовата t-распределба го покажува односот помеѓу стандардниот нормален распределба и квадратниот корен од хи-квадратна распределба (χ₂) поделен со неговите степени на слобода (ν).

Параметри на Студентовата t-распределба

Студентовата t-распределба е дефиниран од параметарот v којшто претставува број на степени на слобода. Под број на степени на слобода на некој показател се подразбира бројот на независни повторувања намален за бројот на параметрите потребни за определување на показателот. Ако бројот на степени на слобода се зголемува, тогаш Студентовата t-распределба се приближува кон стандардизираниот нормален распределба.

За аритметичката средина како мерка на централна тенденција и коефициентот на асиметрија како мерка на обликот на Студентовата t-распределба е познато дека Μ=0 и α₃=0, респективно. Другата мерка на облик на Студентовата t-распределба е коефициентот на сплоснатост кој изнесува:

и кога n→∞, α₄→3 тогаш Студентовата t-распределба има нормална висина.

Како мерка на дисперзија, за Студентовата t-распределба варијансата изнесува:

Податотека:Варијанса т распределба.png

Одлики на Студентовата t-распределба

Кај Студентовата t-распределба како непрекинат распределба на веројатноста, непрекинатата случајна променлива X зема вредности од -∞ до +∞ со функција f(x) која што е закон на веројатностите на Х.

Податотека:Студентов t-распределба.png

каде што Г претставува гама функција.

• Овој распределба е унимодален.
• Графикот е над Х оската во координатниот систем која што претставува асимптота на функцијата f(x).
• Максимум на функцијата f(x) се наоѓа во точката x=0.

Студентовата t-распределба и стандардниот нормален распределба имаат сличен облик. Разликата помеѓу овие два распределбаа е тоа што Студентовата t-распределба е повеќе сплоснат во средината, а помалку сплоснат на краевите во споредба со стандардниот нормален распределба. Графикот на функцијата на Студентовата t-распределба во споредба со стандардниот нормален распределба за v=5,v=3 и v=15 степени на слобода:

Податотека:Т распределба стандардизиран 5 степени на слобода.png

Податотека:Т распределба стандардизиран 15 степени на слобода.png

Критични вредности на Студентовата t-распределба

Студентовата t-распределба се користи во статистичкото заклучување за непознати параметри на популацијата врз основа на информациите добиени од примерокот. Статистичкото оценување и тестирање на хипотези се две форми на статистичкото заклучување во кои може да се искористи Студентовата t-распределба. Како пример за непознат параметар на популацијата кој може да се оцени и тестира може да биде аритметичката средина. Статистичкото заклучување вклучува формирање на интервал на доверба (за чија пресметка се потребни реализирана вредност на статистиката на t-тестот и критична вредност). Статистичкото тестирање на хипотези врши проверка на точноста на однапред поставените претпоставки за одредени одлики на популацијата. Студентовата t-распределба се користи во овие постапки на статистичко заклучување за мали примероци односно кога n<30. За да може практично да се употреби Студентовата t-распределба, потребно е корисникот да ги земе предвид табличните односно критични вредности на овој распределба. Бидејќи распределбаот е симетричен, може да се определат:

• критични вредности на лева и десна страна ±t_(α/2;v)
• критични вредности на лева страна -t_(α;v)
• критични вредности на десна страна t_(α;v)

Кога е потребно да се определат критичните вредности и на левата и на десната страна (двостран тест), доволно е да се определи само критичната вредност на десната страна и да се искористи за означување и на критичната вредност на лева страна, но со негативен знак бидејќи оваа вредност се наоѓа под нулата на кумулативот на веројатности на t-распределбаот. На пример, за v=5 и стандардна грешка α=0,05, критичната вредност на t-распределбаот на десна страна ќе изнесува 2,5706, додека пак критичната вредност на t-распределбаот на лева страна ќе изнесува -2,5706.

Наводи

1. Ристески Славе, Тевдовски Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје

2. Њуболд Пол, Карлсон Л.Вилијам, Торн Бети (2010): „Статистика за бизнис и економија“, прво издание, Скопје: Магор

3. http://www.eccf.ukim.edu.mk/statistika/materijali/verojatnost/index.html Архивирано на 30 ноември 2012 г.

4. http://www.eccf.ukim.edu.mk/statistika/materijali/tablici/index.html Архивирано на 14 април 2012 г.