Теореми за средна вредност: Разлика помеѓу преработките
| [непроверена преработка] | [непроверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Ред 74:
* '''Нека функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> се определени на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилни на <math>\ (a,b)</math>. Тогаш постои точка <math>\ c\in (a,b)</math> така што важи:'''
: <math>\ \left ( f(b) - f(a) \right ) g^\prime (c) = \left ( g(b) - g(a) \right ) f^\prime (c)</math>.
или поинаку претставено:
: <math>\ \frac{f^\prime (c)}{g^\prime (c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>
'''Забелешка:'''ако теоремата на Лагранж се нарекува Теорема за средна вредност, тогаш теоремата на Коши се нарекува ''Проширена теорема за средна вредност''.
=== Доказ ===
Ќе примениме слична постапка како при доказот на Теоремата на Лагранж. Нека ни се исполнети потребните услови: нека функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> се определени на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилни на <math>\ (a,b)</math>. Специјално ја формираме функцијата:
: <math>\ h(x) = [f(b)-f(a)]\cdot g(x)-[g(b)-g(a)]\cdot f(x)</math>
Оваа функција е непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на интервалот <math>\ (a,b)</math> бидејќи е „изведена“ од функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> и дополнително <math>\ h(a) = h(b)</math>. Тогаш според Теоремата на Рол, постои точка <math>\ c \in (a,b)</math> таква што <math>\ h^\prime (c)=0</math>. Тогаш:
: <math>\ h^\prime (c) = [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)-[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c)=0</math>
од каде следи:
: <math>\ [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)=[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c)</math>
== Интересно ==
| |||