Evavel7

Мерки на облик на распоред

Покрај средните вредности и мерките на дисперзија, во показателот на распоредот ги вбројуваме и мерките на асиметрија и сплоснатост на распоредот кои се однесуваат на неговиот облик. Распоредот е симетричен кога вредноста на фреквенцијата го обележува рамномерно опаѓањето или растот, почнувајќи од средната вредност. Распоредот е асиметричен кога елементите заедно покажуваат тенденција на групирање околу вредностите на белезите над или под средната вредност. Во зависност од односот на фреквенцијата на средната вредност или фреквенцијата на останатите вредности , распоредот е повеќе или помалку сплоснат. За одредени мерења во статистиката се користат отстапувања на вредностите од аритметичката средина заедно на одреден степен, централните моменти на распоредот (М) и др. Постојат (Мо) односно нултиот момент кој е еднаков на еден, првиот момент (М₁) кој е еднаков на нула, вториот момент (М₂) е варијансата, третиот момент (М₃) и четвртиот момент (М₄) кој се користи за пресметување на релативните мерки на асиметрија и сплоснатост. Средината и медијаната на симетричните распореди се еднакви , бидејќи опсервациите се балансирани или правилно распоредени околу центарот. Средината на позитивно искривениот распоред ќе биде поголема од неговата медијана, додека средината на негативно искривениот распоред ќе биде помала од неговата медијана. Пример за тоа се распоредите на доходите или богатствата на домаќинствата во еден град, држава или земја кои се стремат да содржат релативно мал удел на големи вредности. Голем удел на популацијата има релативно скромни доходи, но пример, доходите на највисоките 10 % од сите вработени се протегаат во значаен интервал. Како резултат на тоа, средината на овие распореди е типично многу повисока од медијаната. Една од можните причини за искривеноста е присуството на вредности што отстапуваат. Големите опсервации имаат тенденција да ја зголемат средината што резултира со позитивна искривеност. Малите опсервации придонесуваат до намалување на вредноста на средината што резултира со можна негативна искривеност. Понекогаш искривеноста е својствена за распоредот. Доколку искривеноста е нула, или приближно еднаква на нула, распоредот е симетричен или приближно симетричен. Негативната вредност на искривеноста ни кажува дека распоредот е искривен на лево. Позитивната вредност на искривеноста ни кажува дека распоредот е искривен на десно. Но, исто така медијаната не е секогаш попосакувана од аритметичката средина кога популацијата или примерокот се искривени. Постојат и случаи кога средината е попосакувана мерка и покрај тоа што распоредот е искривен. За мерење на асиметријата се користи третиот момент кој за групирани податоци се пресметува според следната формула :

$M_{3}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}fi(xi-M)^{3}$

додека за мерење на сплоснатоста се користи четвртиот момент :

$M_{4}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}fi(xi-M)^{4}$

Третиот момент ставен во однос со стандардната девијација на трети степен дава релативна мерка на асиметрија која се обележува со α₃.

$\alpha _{3}={\frac {M_{3}}{\sigma ^{3}}}$

За симетричните распореди на фреквенциите, коефициентот α₃ е еднаков на нула, а за асиметричните е различен од нула. Распоредот е позитивен или негативен во зависност од насоката на асиметрија. Кај позитивната асиметрија односно асиметрија на десно , коефициенот α₃ е поголем од нула, а кај негативната асиметрија односно асиметрија на лево, α₃ е помал од нула. Колку повеќе овој коефициент се разликува од нула, толку повеќе асиметријата е поголема. Распоредот е умерено асиметричен ако вредноста на α₃ се движи во интервал од –0,5 до +0,5 (а е различен од нула).

Кај симетричниот распоред, вредностите на асиметричната средина, медијаната и модусот се меѓусебно еднакви (М=Ме=Мо). Кај позитивната асиметрија, аритметичката средина се поместува од модусот кон поголемите вредности, односно М>Me>Mo, додека кај негативната асиметрија, аритметичката средина се поместува од модусот кон помалите вредности, односно М <Me< Mo.

Пирсонов (Pearson) коефициент на асиметрија

Изедначувањето на овој коефициент со нула покажува дека распоредот е симетричен, а приближувањето на неговата вредност од -3 до +3 покажува нагласена позитивна или негативна асиметрија на распоредот.

Боулиев (Bowley) коефициент на асиметрија

Оваа мерка на асиметрија го покажува фактот дека кај симетричните распореди на фреквенции, разликата помеѓу третиот квартил и медијаната е еднаква на разликата помеѓу медијаната и првиот квартил. Q₃-Me=Me-Q₁ , па изразот на овој коефициент на асиметрија гласи :

$Sa={\frac {(Q_{2}+Q_{3})-2Me}{Q_{3}-Q_{1}}}$

Вредноста на овој коефициент на асиметрија се движи во интервал од -1 до +1. Односот помеѓу четвртиот момент со стандардната девијација на четврти степен претставува релативна мерка на сплоснатост која се означува со α₄ .

$\alpha _{4}={\frac {M_{4}}{\sigma ^{4}}}$

Ако α₄ = 3, распоредот има нормална сплоснатост.

Ако α₄ > 3, распоредот е повеќе издолжен односно сплоснатоста е помала од нормалната.

Ако α₄ < 3, распоредот е повеќе сплоснат, односно има поголема сплоснатост од нормалната.

Наводи

• Статистика за бизнис и економија – Д-р Славе Ристески, Д-р Драган Тевдовски; четврто издание; Скопје 2010
• Статистика за бизнис и економија - Пол Њуболд, Вилијам Л.Карлсон, Бети Торн; 2010
• Основи на статистичка анализа - др. Дубравка Павличиќ, проф. др. Р.Његиќ, проф. др. М.Жижиќ; Економски факултет, Белград