Проблем со три чаши

Проблем со три чаши, познат и како предизвик со три чаши — математичка загатка којашто во нејзиниот најпрепознатлив облик е нерешлива. Во почетната поставеност на проблемот, една од чашите е затворена, а другите две се отворени. Целта е да се отворат сите чаши во не повеќе од шест потези, така што со секој потег да бидат превртени точно две чаши.

Проблемот може да се јави и во решлив облик чија почетна поставеност се состои од една отворена и две затворени чаши. Овој проблем може да се реши во само еден потег со отворање на двете затворени чаши, така што се добива целната поставеност на три отворени чаши. Решливиот облик на проблемот се користи како трик, каде што изведувачот го решава решливиот облик во повеќе потези, а потоа бара од публиката да го реши нерешливиот облик на проблемот.^[1]

Доказ за невозможност уреди

Суштината на доказот се состои во тоа дека не постои можност со последователно додавање или одземање на парен број (потег) на непарен број (почетна поставеност на чашите) да се добие нула (решение на проблемот). Доказот е во продолжение и истиот може да се воопшти за случајот кога на располагање стои неограничен број потези.

Нека се дадени чашите A, B и C, така што две од нив се отворени, а третата е затворена. Со $W$ нека е означен бројот на погрешно поставени, т.е. затворени чаши, па очигледно е дека за почетната поставеност важи $W_{0}=1$ . Ако со $S$ е означен секој потег кој се состои од превртување на точно две чаши, јасно е дека се можни три различни потези: превртување на две отворени чаши, превртување на две затворени чаши и превртување на една отворена и една затворена чаша. Според тоа, ефектот на секој потег поприма вредности од мнижеството $S=\{-2,0,2\}$ , односно отворањето на две затворени чаши го намалува бројот на погрешно поставени чаши за 2, затворањето на две отворени чаши го зголемува бројот на погрешно поставени чаши за 2, додека отворањето на една затворена и затворањето на една отворена нема никаков ефект.

Сега нека е претставено решението на проблемот преку диференцната равенка $W_{n}=W_{0}+nS=0$ , каде што $n\leq 6$ за $n\in \mathbb {N}$ . Со замена на $W_{0}=1$ во диференцната равенка се добива $nS=-1$ . Нека се претпостави дека решението постои, односно $\exists {n}\in \mathbb {N} :nS=-1$ . Но, со оглед на тоа што $S=2k$ за $k\in \mathbb {Z}$ , односно $S$ е парен број, следува дека $nS=2nk=2k_{1}$ за $k_{1}\in \mathbb {Z}$ , односно $nS$ исто така е парен број. Последното противречи на претпоставката дека решението постои и според тоа истото не постои.