Проблем на Фањано

Во геометријата, проблемот на Фањано е проблем за оптимизација што првпат бил формулиран од Џовани Фањано во 1775 година:

ортичен триаголник: $\triangle DEF$



</br> впишани триаголници: $\triangle DEF\,,\triangle GHI$



</br> $|DE|+|EF|+|FD|\leq |GH|+|HI|+|IG|$

За даден остроаголен триаголник да се определи впишаниот во него триаголник со најмал периметар.

Решението е ортичниот триаголник, со темиња во основите на висините на дадениот триаголник.

Решение

Ортичниот триаголник, со темиња во основните точки на надморските височини на дадениот триаголник, има најмал периметар од сите триаголници впишани во остар триаголник, па оттука тој е решението на проблемот на Фањано. Првичниот доказ на Фањано користел методи на пресметка и среден резултат даден од неговиот татко Џулио Карло де Тоски ди Фањано. Меѓутоа, подоцна биле откриени и неколку геометриски докази, меѓу другите од Херман Шварц и Липот Фејер. Овие докази ги користат геометриските својства на рефлексиите за да одредат некоја минимална патека што го претставува периметарот.

Физички принципи

Решението кое доаѓа од физиката се заснова на замислување да се стави гумена лента која го исполнува Хуковиот закон околу трите страни на триаголна рамка $ABC$, така што таа да може непречено да се лизга наоколу. Тогаш гумената лента би се нашла во положба во која нејзината еластична енергија е минимална, а во таа положба би била минимална и нејзината вкупна должина. Оваа положба го дава минималниот периметарски триаголник. Напнатоста во внатрешноста на гумената лента е иста насекаде во гумената лента, така што во нејзината положба на мирување, според теоремата на Лами, имаме: $\angle bcA=\angle acB,\angle caB=\angle baC,\angle abC=\angle cbA$

Триаголникот abc е ортичен триаголник на триаголникот ABC

Затоа, триаголникот со минимален периметар е ортичкиот триаголник.

Поврзано

• Проблем TSP со множества - поопшта задача за најкратка патека за посета на секое од семејството множества

Наводи

• Хајнрих Дери: 100 големи проблеми на елементарната математика: нивната историја и решенија. Публикации Довер 1965 година, стр. 359-360, проблем 90 (ограничена онлајн верзија (Книги на Google) )
• Пол Џ. Нахин: Кога најмалку е најдобро: Како математичарите откриле многу паметни начини да ги направат работите што е можно помали (или поголеми). Издание на Универзитетот Принстон 2004 година,ISBN 0-691-07078-4, стр.67
• Коксетер, Х.С.М. ; Грајцер, С.Л.: Повторна посета на геометријата. Вашингтон, ДЦ: Американска математичка асоцијација 1967, стр.88–89.
• H.A. Schwarz : Gesammelte Mathematische Abhandlungen, кн. 2 . Берлин 1890, стр. 344-345 (онлајн во Интернет архивата, германски)

Надворешни врски

• Проблемот на Фањано на cut-the-knot
• Проблемот на Фањано во Encyclopedia of Mathematics
• Проблемот на Фањано на website за геометрија на триаголник
• „Fagnano's problem“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)