Минковскиев простор

Минковскиев простор или Минковскиев време-простор е комбинација од Евклидов простор и време во четири-димензионален многуструкост каде временскиот интервал помеѓу било кои два настани е независен од инерцијалната рамка на однесување.Најпрво развиена од математичарот Херман Минковски за Максвеловите равенки за електромагнетизам, математичката структура на Минковскиевиот време-простор се покажала како последица од специјалните постулати за релативноста.

Минковскиевиот простор е тесно поврзана со Специјалната теорија на релативитет на Ајнштајн, и е најприменуваната математичка структура преку која специјалната релативност е формулирана.Додека поединечните компоненти во Евклидов простор и време често варираат поради контракција на должината ивременска дилатација, во Минковскиевиот време-простор, сите рамки од референтите го поддржуваат целосното растојание помеѓу настаните. Бидејќи времето го третира различно од другите димензии,Минковскиевиот простор се разликува од четиридимензионалниот Евклидов простор.

Во Евклидовиот простор,изометриската група е Евклидовата група.Аналогната геометриска група на Минковскиот простор, зачуваните интервали од бремето и просторот се опремени со поврзувачка непозитивна дефинитивна билинеарна форма(овде наречена Минковкиев внатрешен производ,) е Група Пуанкаре. Минковскиевиот внатрешен производ се дефинира како и за да се добиеa интервалот од време-просторот меѓу два настани кога е дадена нивната координатна разлика на вектор како аргумент.

Историја

Херман Минковски (1864 – 1909)бил Германски математичар. Открил дека специјалната теорија на релативитет, која била докажана од неговиот студент Алберт Ајнштајн, може најлесно да биде разбрана преку четиридимензионален простор, познат како Минковскиев време-простор.

Четиридимензионален Евклидов време-простор

Во 1905, а подоцна објавено во 1906, Анри Поенкаре покажал дека земајки го времето како имагинарна координата на времепросторот (√−1 ct),а Лоренцова трансформација може да се гледа како ротација на координати во четиридимензионалниот Евклидов простор каде три реални координати ја претставуаат вселената, а една имагинарна координата, претставувајќу ги времето, како четврта димензија.Бидејќи просторот станува псевдо-Евклидов простор, роцатијата е претстава на хиперболична ротација,иако Поенкаре не дал никаква интерпретација,неговата цел била само да ја објасни Леренцовата трансформација во термини од познатата Евклидова ротација.

Оваа идеја била елаборирана од Херман Минковски, кој ја користи за објаснување на Максвеловите равенки во четири димензии,покажувајќи ја директно нивната инваријанта под Лоренцова трансформација.Тој понатаму ја реформулирал во четири димензии тогаш скорешната теорија на специјална релативност на Алберт Ајнштајн.Од ова тој заклучил дека времето и просторот треба да се третираат еднакво,и така издигнал неговиот концепт од настани кои заземаат место во унифизиран чпетиридимензионален времепростор континум.

Минковскиев простор

Во понатамошен развој, тој дал алтернативна формулација од оваа идеја дека користел реална координата за времето наместо имагинарна, претставувајки ги четирите променливи (x, y, z, t) на просторот и времето во координатна форма во четиридимензионален простор афин просотр. Бодови во оваа просторна кореспондација од настани во времепростор.Во овој простор,дефинирано е светол конус поврзано со секоја точка (види дијаграм горе), и настаните не се на светлиот конус се класифицирани од нивната релација до темето како просторно или временско.Тоа е главно овој поглед од времепросторот што е сегашен,иако постариот поглед инволвира имагинарно време исто така влијаел специјалната релативност.Минковски,свесен од фундиментално преформулирање на теоријата која тој ја направил,рекол

Погледите на просторот и времето што јас посакувам да лежат пред вас беа заоблени од земјата на експерименталната физика,во тоа лежи нивната сила.Тие се радикални. Хенсфортовиот простор и времето, се осудени на пропаст да испарат во обични сенки,и само унија од двете ќе оствари независна реалност.

— Херман Минковски, 1907

Математичка структура

За преглед ,Минковскиевиот простор е 4-димензионален реален векторски простор опремен со негенерирани ,симетрички билинеарни форми од просторот на тангентата и секоја точка во времепросторот ,овде е едноставно наречен Минковскиев внатрешен производ, со знак (+,−,−,−) или (−,+,+,+). Во практика,еден мора да не биде на тангентите простори.Векторскиот простор во природа на Минковскиевиот простор дозволува канонички идентификации од векторите во тангентните простори на точки(настани) со вектори(точки,настани)во самиот Минковскиев простор. For some purposes it is desirable to identify tangent vectors at a point p with displacement vectors at p, which is, of course, admissible by essentially the same canonical identification.

Потписот се однесува на кој знак Минковскиевиот внатрешен производ принесува кога даден простор и време се засноваат на вектори како аргументи. Генерално,мамематичарите и генералните релативци прферираат поранешен додека практичните физичари се стремат да го користат доцниот. Аргументите на поранешниот(чисти просторни вектори принесуваат позитивни "норми-квадрат") вклучувајќи "континуитет" од Евклидовиот случај кореспондира со нерелативниот лимит c → ∞. Аргументите за доцниот(чисти просторни вектори принесуваат негативни "норми-квадрат") вклучувајќи дека спротивно сеприсутноста минус знак во практична изика ќе исчезне.

Математички поврзано со оваа билинеарна форма е тензор од типот (0,2) во секоја точка во времепросторот, нареченаМинковскиева метрика. Минковскиевата метрика,билинеарната форма,и Минковскиевиот внатрешен производ се всушност сите многу исти објекти.Во координатите,ова е 4×4 матрица која претставува билинеарна форма. Чувајќи го ова на ум може да олесни она што следува.

За споредба, во генералната релативност, Лорентцовиот колекторL е опремен со метрички тензор g, кој е недегенериран симетричен билинеарен по форма на тангентниот просторT_pL и во секоја точка p на L.Во координатите ,може да репрезентира со 4×4 матрицазависејќи од позицијата на времепросторот.Минковскиевиот простор е компаративен со едноставен случај од Лоренцовиот колектор.Неговиот метрички тензор,наречен Минковскиева метрика,е координата на иста симетричка матрица на секоја точка од M, и неговите аргументи можат ,од нагоре да бидат земени како вектори во самиот времепросторот.

Претсавувајќи повеќе терминологија (но не повеќе структура),Минковскиевиот простор е псевдо-Евклидов простор со тотални димензија n = 4 и знаци (3, 1) или(1, 3).Елементи од Минковскиевиот простор се наречени настани. Минковскиевиот простор е често одбележан R^3,1 или R^1,3 за да го истакне избраниот знак,или самоM. Можеби е наједноставниот пример на псевдо-Риемановиот колектор .

Псевдо-Евклидови метрички генерализации

Главна статија: Псевдоевклиден простор

Минковкиевата метрика η е метрички тензор од Минковскиевиот простор. Е Псевдо-Евклидова метрика.Како таква е недегенерирана симетричка билинеарна форма,вид (0,2) тензор.Прифатени два аргументи u_p, v_p, вектори во T_pM, p ∈ M, тангентнтиот простор p во M. Поради горенаведените канонички идентификации од T_pM with M самиот,ги прифаќа аргументите u, v со двата u и v воM.

Како нотациони конвенции,векторите v воM, се наречени 4-вектори, се одбележани во in санс-сериф закосени, и не ,како заеднички во Евклидовите поставувања , со задебелени v. Доцниот е генерално резервиран за 3-вектор дел(ќе биде најавен доле) на 4-вектор.

Дефиниција

$u\cdot v=\eta (u,v)$

принесува како внатрешен производ структура на M, претходно и исто хенсфорт ,наречен Минковскиев внатрешен производ , слично на Евклидовиот внатрешен производ, но опишува различна геометрија. Следел својства.

• $\eta (au+v,w)=a\eta (u,w)+\eta (v,w),\quad \forall u,v\in M,\forall a\in \mathbb {R} \qquad {\text{(linearity in first slot)}}$
• $\eta (u,v)=\eta (v,u)\qquad {\text{(symmetry)}}$
• $\eta (u,v)=0\quad \forall v\in M\Rightarrow u=0\qquad {\text{(non-degeneracy)}}$

Првите два услова покажуваат билинеарност.Дефинирајќи разлика помеѓу псевдовнатрешен производ и внатрешен продикт правилно е дела порано е не барано да биде позитивно дефиниран , тоа е , η(u, u) < 0 е дозволено.

Два вектора v и w се речени да бидат ортогонални ако η(v, w) = 0.

Вектор e е наречен единица вектор ако η(e, e) = ±1.Основа за M содржана од заеднички ортогонални единици вектори е наречен ортонормална основа.

За дадена инертна рамка, ортонормална основа во простор,комбинирана со инија на временски вектор,форми на ортонормални основи во Минковскиев простор. Бројот од позитивни и негативни унии на вектори во таква основа се попраавени од пар од броеви,еднаков на знаците од билинеарната форма поврзана со внатрешниот производ. Ова е Силвестеров закон на инертност.

Повеќе терминологија (но не повеќе структура ): Минковскиевата метрика е псевдо-Риеманова метрика,по специфично,Лорентцова метрика,дури поспецифично,Лорентц метрика,резервирана за 4-димензионална рамна простор-време со која преостанатата двосмисленост само е значајна конвенција.

Минковскиева метрика

Од двата постулати на специјална релативност следува време-простор интервал меѓу двата настани 1, 2,

$\pm \left[c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2})^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}\right],$

е независно од инертната избрана рамка. Факторот± едноставно значи дека изборот од знаци е оставен отворен . Бројчените вредности од η, гледани како матрица го прикажуваат Минковскиевиот внатрешен производ, следен од теоријата на билинеарни форми.

Знакот од метриката е дефинирам во литературата,овој квантитет не е константо именуван. Интервалот (дефиниран тука) е понекогаш прикажан како квадратен интервал. Even the square root of the present interval occurs. Кога знакот и интервалот се поправени,двосмисленоста сè уште останува како и координатата е временска координата. Можеби е четврта,или можеби е нулта.Ова не е исцрпна листа од нотни неправилности.Фактот на живот што еден мора да ја провери дефиницијата прво нешто што еден ја советува литературата на релативитет .

Поседноста на интервалот под координатни трансформации меѓу инертни рамки следи од поседност од

$\pm \left[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right]$

(или со знак ±), обезбедени од трансформациите се линеарни .Оваа This квадратна форма може да се користи да се дефинира билинеарна форма

$u\cdot v=\pm \left[c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\right].$

од поларниот идентитет .Оваа билинеат форма може да се заврти напишана како

$u\cdot v=u^{\mathrm {T} }[\eta ]v,$

каде [η] е 4×4 матрица поврзана со η. Можеби збунувачки, ознака [η] само со η е како обична практика . Матрицата е прочитана од иксплицитна билинеарна форма

$\eta =\pm {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},$

и билинеарната форма

$u\cdot v=\eta (u,v),$

со која делот почнува преспоставувајќи нејзиното постоење ,е сега идентитет.

За одреденоста и кратка презентација,знакот (−,+,+,+) е усвоен подолу.Изборот има не физички импликации. Симетричната група ја зачувува билинеарната форма со еден избор од знаци е изоморфна со симетрична група зачувана од друг изнор од знаци .Ова значи дека двата избора се согласност со двата постулати на релативност.

Стандардни основи

Стандардна основа за Минковскиевиот простор е поставена од четири заеднички ортогонални вектори { e₀, e₁, e₂, e₃ } како

$-\eta (e_{0},e_{0})=\eta (e_{1},e_{1})=\eta (e_{2},e_{2})=\eta (e_{3},e_{3})=1.$

Овие услови може да бидат запишани компактно во форма

$\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.$

Релативно до стандардна основа,компоненти од вектор v се запишани(v⁰, v¹, v², v³) каде Ајнштајнова нотација е користена да се запише v = v^μe_μ. Компонентот v⁰ е наречен временски компонент од v додека другите три компоненти се просторни компоненти. Просторните компоненти од 4-вектор v може да идентификуваат со 3-вектор v = (v₁, v₂, v₃).

Во врска со компоненти ,Минковскиевиот внатрешен производ меѓу два вектора v и w е добиен од

$\eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },$

и

$\eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.$

Тука намалување на индексот е користено со метрика . Технички , не дегенерирана билинеарна форма обезбедува мапа помеѓу векторски простор и неговиот двојник , во овој контекст,мапата е меѓу тангентниот простор од M и котангенсиот простор од M. Во точка на M,тангенсниот и котангенсиот простор се двојни векторски простори. Како и автентичниот внатрешен производ на векторски простор со еден среден аргумент , од Ризовата претставувачка теорема ,може да се израси со акција од линеарна функција на векторскиот простор ,исто држи значење за Минковскиевиот внатрешен производ на Минковскиевиот простор.

Дури и v^μ се копоненти на вектор во тангентен простор,тогаш η_μνv^μ = v_ν се компоненти од вектор во котангенсен простор (линеарно функционални).Поради идентификацијата на векторите во тангенсниот простор со вектори во M самиот, овој не најчесто игнориран, и вектори со помали индикации се прикажани како коваријантни вектори . Во оваа доцна интерпретација,коваријантни вектори се (скоро секогаш имплицитни) идентификувани со вектори (линеарно функционални) во двојни од Минковскиев простор . Оние со горни индекси се контраваријантни вектори.На исти начин,инверзно од мапата од тангентите до котангентните простори , експлицитно дадени од инверзно η претставата на матрицата, може да сее користи да се дефинира зголемување на индекс. Компонентите од инверзот се одбележани η^μν. Се случува η^μν = η_μν. Овие мапи меѓу векторски простор и неговиот двојник може да се обележани η^♭ (eta-flat) иη^♯ од музички аналогии .

Докажаното време за стабилноста на самиот формализам,понекогашсе прикажува како индексна гимнастика, осигурува движење на вектори околу и менување на контраваријантниот и коваријантниот вектор и обратно е математички звук .Неточните изразувања се стремат да се прикажат брзо.

Лорентцови трансформации и симетрија

Стандардна конфигурација од координатни системи за Лорентцови трансформации .

Групата Пуанкаре е група од сите трансформации кои го одржуваат интервалот.Интервалот е доста лесно виден за да биде задржан од транслационата група во4 димензии. Другите трансформации се тие што го одржуваат интервалот и си одат од потекло фиксни.Дадена билинеарна форма поврзана со Минковскиева метрика,адекватната група следи директно од теоријата (во конкретна дефиниција) од класична група. Е поврзана со поврзан член, еден треба да идентификува η (во оваа матрична презентација) со матрицатаΦ.

Соодветната група O(3,1), во овој контекст е наречена Лорентцова група. Нејзините елементи се наречени (хомогени) Лорентцови трансформации.За други методи од деривација,со многу физички осврт,гледадериваџија од Лорентцови трансформации.

Помеѓу наједноставните Лорентцови трансформации е Лорентцовото зголемување.За референца ,зголемување во x-насока е дадено од

${\begin{bmatrix}U'_{0}\\U'_{1}\\U'_{2}\\U'_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{0}\\U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\end{bmatrix}},$

каде

$\gamma ={1 \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}$

е Лорентцов фактор, и

$\beta ={v \over c}\,.$

Други Лорентцови трансформации се чисти ротации,и оттука елементите од a SO(3) подгрупа од O(3,1).Генералната гомогена Лорентцова трансформација е производ од чисто зголемување и чиста ротација.Нехомогена Лорентцова трансформација е хомогена трансформација следена од транслација од просторот и времето.Специјални трансформации се оние кои инвертираат просторни координати (P) и временска координата (T) соодветно, или двете (PT).

Сите четири вектори во Минковскиевиот простор се трансформираат ,по дефиниција, следејќи ја истата формула под Лорентцовите трансформации . Минковскиев дијаграм илустрира Лорентцови трансформации.

Причинска структура

Подрубрика од Минковскиевиот времепростор со почитување на настан во четири одделни множества.Светлиот конус, апсолутна иднина, апсолутно минато, и на друго место. Терминологијата е од Сард (1970).

Главна статија: Causal structure

Векториv = (ct, x, y, z) = (ct, r) се класифицирани според знакот од c²t² - r². Векторот е временски ако c²t² > r², просторен ако c²t² < r², и нулти или светол ако c²t² = r². Ова може да биде искажано во термини на знаци η(v,v) ,но зависи од потпишувањето. Класификацијата на секој вектор ќе биде иста во сите рамки од референцата,поради неваријантнтоста на интервалот.

Множество од сите нулти вектори на настан од Минковскиев простор го сочинува светлиот конус на настан .Даден на временскиот вектор v,постои линија на светот од константа на брзината поврзана со неа , претставувајќи ја правата линија во Минковскиевиот дијаграм.

Кога е избрана насока на времето , временските и нултите вектори можат понатаму да се распаднат во разни класи .За временските вектори еден има

1. понатаму насочен временски вектори кои првите компоненти им се позитивни,(врв од вектор сместен на апсолутната иднина на фигурата) и
2. минато насочени временски вектори кои првите компоненти се негативни (апсолутно минато).

Нулти вектори паѓаат во три класи:

1. нула вектор,чии компоненти на секоја основа се (0,0,0,0),
2. идно насочени нулти вектори чии први компоненти се позитивни (горен светол конус),

и

1. минато насочени нулти вектори чии први компоненти се негативни (долен светол конус).

Просторните вектори се на друго место .Терминологијата произлегува од фактот дека просторните одделени настани се поврзани од вектори кои се побрзи од светлината ,и неможат никако да си влијаат еден на друг.Заедно со просторните и светлите вектори има вкупно 7 класи .

Ортогоналните основи за Минковскиевиот простор мора да се сочинуваат од еден временски и три просторни единица вектори.Ако еден сака да работи со не-ортогонални основи можно е да има други комбинации од вектори. На пример,еден може лесно да конструира (не-ортогонални) основи составена целосно од нулти вектори,наречени нулти основи. Над реалните, ако два нулти вектори се ортогонални (нула Минковскиев тензор вредност ), тогаш мораат да бидат пропорционални. Сепак,дозволувајќи комплексни броеви,еден може да се здобие со нулта тетрада,која е основа сочинета од нулти вектори,некој кои се ортогонални еден на друг.

Векторските полиња се наречени временски,просторни или нулти ако поврзаните вектори се временски просторни или нилти во секоја точка каде полето се дефинира.

Хронолошки и последични релации

Ако x, y ∈ M. Ние речеме дека

1. x хронолошки му претходи y ако y − x е идно насочен просторен. Оваа релација ја има транзитивната сопственост и моѓе да биде запишан x < y.
2. x последично му претходи y ако y − x е одно насочен нулти или идно насочен просторен. Дадено е делумна подреденост од просор-време и може да биде запишана x ≤ y.

Обратна триаголна нееднаквост

Ако v и w се заедно идно насочени временски четири-вектори,тогаш во (+ - - -) знаци конвенција во норма,

$\left\|v+w\right\|\geq \left\|v\right\|+\left\|w\right\|.$

Односи со други формулации

Различен број на димензии

Строго кажано,Минковскиевиот простор реферира за математичка формулација во четири димензии. Сепак , математиката може лесно да биде продолжена или поедноставена да создаде аналогија "Минковскиев простор" ако некој број од димензии . Ако n ≥ 2, n-димензионален Минковскиев простор е вектор простор од реална димензија n на која има константна Лорентцова метрика од знаци (n − 1, 1) или (1, n − 1). Овие генерализации се користени во теории каде просторвреме е претпоставено дека има повеќе или помалку од 4 димензии. Стринг теоријата М-теоријата се два примера каде n > 4.Во стринг теоријата,се појавува конформално поле со теории со 1 + 1 просторбреме димензии.

Рамен наспроти закривен простор

Како рамен времепростор, трите одделни компоненти од Минковскиевиот простор секогаш ја почитуваатthe Питагоравата теорема.Минковскиевиот простор е соодветна основа за специјалната релативност .добар опис од физичкиот систем над конечни растојаанија ви системи без значителна гравитација . Сепак,во ред да се земе гравитацијата во сметка,физичарите користат теорема од генерален релативитет,која е формулирана со математичка од неевклидова геометрија.Кога оваа геометрија е користена како модел од физички простор,е познато како крив простор.

Дури и во кривиот простор,Минкосвкиевиор простор е уште добар опис на бесконечниот регион опкружувајќи секоја точка (забрзани гравитациски сингуларности). Повеќе абстрактно,ние викаме дека во присуство од гравитацион времепростор е опишано од криви 3-димензионален колектор за кој тангентниот простор во секоја точка е 4-димензионален Минковскиев простор.Структурата од Минковскиевиот простор сè уште има суштинско значење во опос од генерален релативитет.

Поврзано

• Каузална структура
• Евклидов простор
• Четири-вектор
• Хиперболоиден модел
• Лоренцово многуобразие
• Метрички тензор
• Минковскиев дијаграм
• Минковскиева рамнина
• Брзина на светлината
• Суперминковскиев простор
• Светска линија

Наводи

• Corry, L. (1997). „Hermann Minkowski and the postulate of relativity“. Arch. Hist. Exact Sci. Springer-Verlag. 51 (4): 273–314. doi:10.1007/BF00518231. ISSN 0003-9519.
• Catoni, F.; и др. (2008). Mathematics of Minkowski Space. Frontiers in Mathematics. Basel: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-7643-8614-6. ISBN 978-3-7643-8613-9. ISSN 1660-8046.
• Galison, P. L. (1979). R McCormach; и др. (уред.). Minkowski's Space-Time: from visual thinking to the absolute world. Historical Studies in the Physical Sciences. 10. Johns Hopkins University Press. стр. 85–121. doi:10.2307/27757388.
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2002) [1939]. The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics. 2 (4. изд.). Butterworth–Heinemann. ISBN 0 7506 2768 9.
• Lee, J. M. (2003). Introduction to Smooth manifolds. Springer Graduate Texts in Mathematics. 218. ISBN 0-387-95448-1.
• Minkowski, Hermann (1907–1908), „Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern“ [The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111 *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies
• Minkowski, Hermann (1907–1909), „Raum und Zeit“ [Space and Time], Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88 Various English translations on Wikisource: Space and Time
• Naber, G. L. (1992). The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97848-8.
• Penrose, Roger (2005). Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe. 18 Minkowskian geometry. Alfred A. Knopf. ISBN 9780679454434.
• Poincaré, Henri (1905–1906), „Sur la dynamique de l'électron“ [On the Dynamics of the Electron], Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 21: 129–176, doi:10.1007/BF03013466 Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron
• Sard, R. D. (1970). Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics. New York: W. A. Benjamin. ISBN 978-0805384918.
• Shaw, R. (1982). Linear Algebra and Group Representations. § 6.6 Minkowski space, § 6.7,8 Canonical forms pp 221–242. Academic Press. ISBN 0-12-639201-3.
• Walter, Scott (1999). Goenner, Hubert (ed.) (уред.). The Expanding Worlds of General Relativity. Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity. Boston: Birkhäuser. стр. 45–86. ISBN 0-8176-4060-6. Архивирано од изворникот на 2015-04-02. Посетено на 2015-12-29.CS1-одржување: излишен текст: список на уредници (link)

Надворешни врски

Минковскиев простор на Ризницата ^?

• Animation clip на YouTube visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
• The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone Архивирано на 2 април 2015 г.