Загатка на исчезнатиот квадрат

Загатка на исчезнатиот квадрат — оптичка мамка која се користи на часови по математика за да им се помогне на учениците соодветрно да размислуваат за геометриските фигури. На неа се прикажани распоредени фигури, од која секоја навидум обликува 13×5 правоаголни триаголници, но каде една од нив има дупка 1×1.

Решение

Клучот на загатката е фактот што ни еден од триаголниците 13×5 сепак нема иста вкупна плоштина како нивните претпоставени составни делови.

Четирите фигури (жолтата, црвената, сината и зелената) имаат вкупно 32 единици плоштина, но триаголниците се широки 13 и високи 5, што дава 32,5 единици. Синиот триаголник е во пропорција 5:2, додека црвениот е во пропорција 8:3, а ова не е иста пропорција. Така, збирната хипотенуза на секоја фигура е впрочем свитката.

Свиткувањето е во износ од околу 1/28 единица, што е тешко забележливо на самиот дијаграм на загатката. Забележете ја точката на решетката каде црвената и сината хипотенуза се среќаваат, и споредете ја со истата точка на другата фигура; работ е малку над или под точката. Ако ги преклопиме хипотенузите од обете фигури добиваме еден многу тенок паралелограм со плоштина од точно еден квадрат од решетката, т.е. истата плоштина на „изчезнатиот“ квадрат кој недостасува од втората фигура.

Според Мартин Гарднер, загатката ја измислип њујоршкиот магионичар-аматер Пол Кари во 1953 г. Меѓутоа самиот принцип на парадоксот на расекување е познат уште од 1860-тите години.

Целобројните димензии на деловите од загатката (2, 3, 5, 8, 13) се последователни Фибоначиеви броеви. Многу други геометриски загатки со расекување се засноваат на неколку прости својства на познатата Фибоначиева низа.

Слични загатки

Загатката на исчезнатиот квадрат

Парадоксалниот расек на Сем Лојд

Алтернативна и поедноставна верзија на оваа загатка (прикажана на анимацијата) користи четири еднакви четириаголници и мал квадрат, кои заедно сочинуваат поголем квадрат. При ротација на четириаголниците, тие го пополнуваат местото на малиот квадрат, иако вкупната плоштина на фигурата изгледа непроменета. Парадоксот се објаснува со фактот што страната на новиот голем квадрат е малку помала од првобитната. Ако $a$ е страната на поголемиот квадрат и $\theta$ е аголот помеѓу двете спротивни страни на секој четириаголник, тогаш количникот помеѓу двете плоштини ќе биде $\sec ^{2}\theta -1$. За θ = 5°, ова е приближно 1.00765, што соодветствува на разлика од околу 0.8%.

Надворешни врски

• Кариев парадокс: Како е можно? (англиски)
• Триаголници и парадокси (англиски)
• Проблем на триаголникот или „Што има погрешно во очигледната вистина?“ Архивирано на 21 јуни 2007 г. (англиски)