Парцијален извод

Во математиката, парцијален извод или делумен извод на функција од неколку променливи е неговиот извод во однос на една од тие променливи, при што другите променливи се држат константни (за разлика од вкупниот извод, во кој на сите променливи им е дозволено да варираат). Парцијалните изводи се користат во векторската пресметка и диференцијалната геометрија.

Ако во точката $P(x,y,\dots )$ постојат конечни гранични вредности на количникот на прираст на функцијата $f(x,y,\dots )$ со соодветни зголемувања на независните променливи такви што тежат кон нула, тие гранични вредности се нарекуваат парцијални изводи на функцијата $f(x,y,\dots )$ во точката $P(x,y,\dots )$.

Парцијалниот извод на функцијата $f(x,y,\dots )$ по променлива $x$ се означува на различни начини:

$f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ или }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

Понекогаш, ако $z=f(x,y,\dots ),$ парцијалниот извод на $z$ во однос на $x$ се означува со ${\partial z} \over {\partial x}$. Бидејќи, во општ случај, парцијалните изводи се функции на истите променливи како и изворните функции, оваа функционална зависност понекогаш е видливо вклучена во ознаката:

$f_{x}(x,y,...),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,...).$

За означување на парцијални изводи се користи симболот ∂. Една од првите познати употреби на тој симбол во математиката е присутна во делото на маркизот Никола де Кондорсе во 1770 година, каде што го користел за парцијални изводи. Современото обележување на парцијалните изводи потекнува од Адриен-Мари Лежандр (1786), иако подоцна го напуштил. Карл Густав Јакоб Јакоби повторно го вовел симболот во 1841 година. година.

Дефиниција

Како и обичните изводи, парцијалниот извод се дефинира како гранична вредност. Нека U е отвореното подмножество од $\mathbb {R} ^{n}$ и $f:U\to \mathbb {R}$ функција. Парцијалниот извод од f во точката $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$ во однос на i-тата променлива е дефинирана како:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}$

Fункцијата не мора да биде континуирана во дадена точка, дури и ако во таа точка постојат сите парцијални изводи. Меѓутоа, ако сите парцијални изводи постојат во околината и се континуирани во неа, тогаш функцијата е целосно диференцијабилна во тоа соседство и вкупниот извод е континуиран. Во овој случај се вели дека f е функција C¹1. Ова може да се користи за обопштување на векторските функции, $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$, притоа треба внимателно да се користи аргументот на компонентата.

Парцијалниот извод ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ може да се гледа како уште една дефинирана функција на U и повторно може парцијално да се диференцира. Ако сите мешани парцијални изводи од втор ред се континуирани во точката (или во множеството), таа се нарекува C² функција. во таа точка (или на тоа множество). Во овој случај парцијалните изводи може да се заменат со Клероовата теорема:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.$

Означување

  За следните примери, нека $f$ е функција во $x,y$ и $z$.

Парцијални изводи од прв ред:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.$

Парцијални изводи од втор ред:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.$

Мешани изводи од втор ред:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.$

Парцијални и повисоки изводи од повисок ред:

${\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.$

Кога се работи за функции од повеќе променливи, некои од овие променливи може да се поврзани една со друга, па за да се избегнат нејаснотии може да биде неопходно експлицитно да се наведат кои променливи се одржуваат константни. Во подрачја како што се статистичката механика, парцијалниот извод на $f$ во однос на $x$, при што $y$ и $z$ се држат константни, често се изразува како:

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.$

Следствено, за јасност и едноставност на записот, парцијалниот извод на функцијата и вредноста на функцијата во одредена точка се поврзани со вклучување на аргументите на функцијата кога се користи симболот за парцијален извод (Лајбницов запис). Значи, израз како:

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}$

се користи за функцијата, додека:

${\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}$

може да се користи за изразување на вредноста на функцијата во точка $(x,y,z)=(u,v,w)$. Сепак, ова прифатено правило не се користи кога се сака да се процени парцијалниот извод во точка како $(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})$. Вреднувањето на функцијата во овој случај, мора да биде изразено на несмасен начин:

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})$

или

$\left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

за да се користи Лајбницовиот запис. Затоа, во овие случаи, можеби е подобро да се користи Ојлеровиот диференцијален запис на операторот со $D_{i}$ како симбол на парцијалниот извод во однос на i-тата променлива. На пример, за гореопишаниот пример може да се напише $D_{1}f(17,u+v,v^{2})$, додека изразот $D_{1}f$ ја претставува функцијата на парцијалниот извод во однос на првата променлива.

За парцијални изводи од повисок ред, парцијалниот извод (функција) од $D_{i}f$ во однос на i-тата променлива се бележи со $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$. Следствено, $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$, така што променливите се наведени по редослед на вадење на изводите, а оттука и во обратен редослед од тоа како обично се пишува композицијата на операторот. Се разбира, Клероовата теорема го подразбира тоа $D_{i,j}=D_{j,i}$ сè додека се задоволени релативно благите услови за регуларност на f.

Градиент

Важен пример за функција од повеќе променливи е случајот на функција со скаларна вредност во доменот во Евклидовиот простор $\mathbb {R} ^{n}$ (на пр. на $\mathbb {R} ^{2}$ или $\mathbb {R} ^{3}$). Во овој случај постои парцијален извод во однос на секоја променлива. Во точка, овие парцијални изводи дефинираат вектор:

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

Овој вектор се нарекува градиент од f во a. Ако е диференцијабилна во секоја точка во одреден домен, тогаш градиентот е функција со векторска вредност која ја води точката во вектор. Следствено, градиентот произведува векторско поле.

Вообичаена злоупотреба на записот е да се дефинира набла операторот (∇) на следниов начин во тродимензионален Евклидов простор $\mathbb {R} ^{3}$ со единечни вектори ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$ :

$\nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}$

Во општ случај, за n-димензионален Евклидов простор $\mathbb {R} ^{n}$, со координати $x_{1},\ldots ,x_{n}$ и единични вектори ${\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$набла операторот е:

$\nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$

Насочен извод

Контурен графикон на $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, покажувајќи го градиентот во црно и единечниот вектор $\mathbf {u}$ скалиран според насочениот извод во насока $\mathbf {u}$ во портокалова боја. Векторот на градиентот е подолг, бидејќи градиентот е ориентиран во насока на најголемата стапка на зголемување на функцијата.

Насочениот извод на скаларната функција

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

по должината на векторот

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$

е функција $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ дефинирана со граничната вредност

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

Оваа дефиниција важи во широк спектар на контексти, на пример кога нормата на векторот (а со тоа и единичниот вектор) е недефинирана.

Пример

Да претпоставиме функција од повеќе од една променлива. На пример,

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$. 

Графикон на z = x² + xy + y². За парцијалниот извод во (1, 1) то даје константу y, што кореспондира на допирка што е паралелна са xz-рамнината.

Дел од горниот графикот кој ја прикажува функцијата во xz-рамнината во y = 1. Треба да се има на ум дека овие две оски се прикажани со различни скали. Нагибот на допирната линија е 3.

Графиконот на оваа функција дефинира површина во Евклидов простор. За секоја точка на оваа површина има бесконечен број допирки. Парцијална диференцијација е чин на избор на една од овие линии и наоѓање на нејзиниот наклон. Обично најинтересните линии се оние кои се паралелни со $xz$-рамнината, и оние кои се паралелни со из $yz$-рамнината (кои произлегуваат од држење $y$ или $x$ константни).

За да се најде наклонот на правата што е допирка на функцијата во $P(1,1)$ и е напоредна со $xz$-рамнината, $y$ се третира како константа. Десно се прикажани графиконот и оваа рамнина. Подолу се гледа како изгледа функцијата во рамнината $y=1$. Со изнаоѓање на изводот на равенката под претпоставка дека $y$ е константна, се открива дека наклонот $f$ во точка $(x,y)$ е:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$ .

Значи, во $(1,1)$, со замена, наклонот е 3. Затоа,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

во точката $(1,1)$. Со зборови кажано, а истото е прикажано на графиконот, парцијалниот извод на $z$ во однос на $x$ во $(1,1)$ е 3.

Функцијата може повторно да се толкува како семејство функции од една променлива индексирана од други променливи:

$f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Со други зборови, секоја вредност на y дефинира функција, означена со f_y, која е функција со една променлива x. Т. е,

$f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Во овој дел, ознаката f_y означува функција зависна од фиксна вредност y, а не парцијален извод.

Кога ќе се избере вредност на y, да речеме a, тогаш таа ја одредува функцијата што ја следи кривата x² + ax + a² на $xz$-рамнината:

$f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}$ .

Во овој израз, a е константа, а не променлива, и е функција од само една реална променлива, променливата x. Следствено на тоа, се применува дефиницијата за извод за функција со една променлива:

$f_{a}'(x)=2x+a$ .

Горенаведената постапка може да се изврши за кој било избор на a. Со склопување на изводите заедно во функција, се добива функција f која ја опишува варијацијата во насоката x:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.$

Ова е парцијалниот извод на f во однос на x. Овде ∂ е заокружено d кој се нарекува симбол на парцијален извод.

Парцијални изводи од повисок ред

Аналогно на изводите од повисок ред за едноваријантните функции се дефинираат и парцијалните изводи од втор и повисок ред. За функцијата $f(x,y,...)$ „сопствениот“ втор парцијален извод во однос на x е едноставно парцијален извод на парцијалниот извод (двата во однос на x):

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.$

Вкрстениот парцијален извод во однос на x и y се добива со земање на парцијалниот извод во однос на x, а потоа од резултатот се вади парцијален извод во однос на y, за да се добие:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.$

Шварцовата теорема вели дека ако вторите изводи се континуирани, изразот за вкрстениот парцијален извод нема ефект врз тоа по која променлива е првоизведен парцијалниот извод. Со други зборови,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}$

или еквивалентно $f_{yx}=f_{xy}.$

Сопствените и вкрстените парцијални изводи се појавуваат во Хесеовата матрица што се користи во услови од втор ред во проблемите за оптимизација.

Надворешни врски

• Парцијален извод на Ризницата ^?
• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Partial derivative“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• -{Partial Derivatives at MathWorld}-