Виетови формули

Виетови формули — формули во математиката односно алгебрата, именувани според Франсоа Виет, кои ја даваат врската помеѓу нулите на полиномот и неговите коефициенти.

Формули

Ако

$P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

е полином од степен $n\geq 1$ со комплексни коефициенти (па броевите $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ се комплексни, и $a_{n}\neq 0$ ), според основната теорема на аритметиката $P(X)$ има $n$ (не задолжително различни) комплексни корени $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Виетовите формули велат дека

$(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}$

$\cdots \,$

$x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.$

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

Со други зборови, збирот на сите можни производи $k$ на нулите на полиномот $P(X)$ е еднаков $(-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},$

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

за секое $k=1,2,\dots ,n.$

Виетовите формули важат поопшто за полиноми со коефициенти во кој било комутативен прстен, сѐ додека тој полином од $n$-ти степен има $n$ нули во тој прстен.

Пример

За полином од втор степен $P(X)=aX^{2}+bX+c$, Виетовите формули гласат дека решенијата $x_{1}$ и $x_{2}$ се квадратна равенка $P(X)=0$ задоволуваат:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

Првата равенка може да се користи за да се најде минимумот (или максимумот).

Доказ

Виетовите формули може да се докажат со запишување на еднаквоста

$a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$

(што е точно затоа што $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ се сите нули на полиномот), со множење преку факторите од десната страна и наоѓање на коефициентите на секој степен $X$.

Литература

• Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 978-0-8218-3413-8.CS1-одржување: ref=harv (link)
• Đukić, Dušan, (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 978-0-387-24299-6.CS1-одржување: излишна интерпункција (link) CS1-одржување: ref=harv (link)