Бијекција


Бијекција. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f : A → B која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот B постои точно еден елемент a од доменот A таков што f(a)=b. Бијекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.^[1]^[2]

Терминот бијективност и сродните термини сурјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)^[3] и група други, воглавно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.


Не е бијекција. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.)

Основни својства уреди

Формално имаме:

f:A\rightarrow B

е бијективна функција ако за секој

b\in B

постои точно еден

a\in A

таков што

f(a)=b\,.

Елементот $a$ се вика претслика на елементот $b$ .

Функција е бијекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. (Види и: Сурјективна функција, Инјективна функција.)

Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Бијекција значи точно една претслика.

Кардиналност уреди

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност.^[4]

Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои бијекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
- Ако кардиналноста на A и B е конечен број, #A=#B=n тогаш при доказ дека функцијата f:A → B e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
- Ако кардиналноста на A и B е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.

Пример: Нека А=B=ℕ. Идентичната функција f(x)=x e бијекција. Функцијата f(x)=2x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f(x)=round(x/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(z) го заокружува z така што f(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, f(2)=round(2/2)=1, f(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....

Бијекции и инверзни функции уреди

Бијекцијата може да се преврти со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално: Нека f : A → B е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција f е (бијективна) функција g : B → A дефинирана со: ако f(a)=b, тогаш g(b)=a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.

Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.^[5])
Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.^[6]^[7]^[8]

Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со

f^{-1}(x)

се означува инверзната функција на функцијата f, а со

x^{-1}={\frac {1}{x}}

се означува реципрочната вредност на бројот x.

Една од најважните особини на бијективните функции е тоа дека инверзна релација на бијективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзните функции како што се квадратен корен на квадратна функција, логаритамска функција на експоненцијална функција, ... имаат многу голема улога во математиката.

Примери уреди

Елементарни функции уреди

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

Графичко толкување: функцијата f е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во точно една точка.
Алгебарско толкување: функцијата f е бијекција ако за кој било y_o постои x_o таков што y_o=f(x_o) и ако f(x_o)=f(x₁) значи x_o=x₁.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е бијекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.

Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција.

Инверзна функција: y=(x-b)/a

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x³ е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.

Инверзна функција е 3-ти корен, односно

f(x)= ∛x. Слика 5: дебелата зелена крива.

Пример: Квадратната функција f(x) = x² не е бијекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу).

Бијекции и нивните инверзни функции уреди

Нека f(x):A→B каде што A и B се подмножества на ℝ.

Да претпоставиме дека f не е бијекција. За кое било x каде што изводот на f постои и не е нула, постои број δ>0 таков да ограничувањето на f на δ-околината на x е бијекцијата (на сликата на околината).^[4]
Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата y=x. (Види и Инверзна функција.)

Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен [0,+∞)

f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )

каде што

f(x)=x^{2}

е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)

f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )

каде што

f(x)={\sqrt {x}}

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x². Слика 6: дебелата зелена крива.

Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:

доменот на функцијата
машината на функцијата
кодоменот на функцијата

Пример: Нека машината биде f(x)=x².

Оваа машина со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
оваа иста машина со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.

Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)

f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )

каде што

f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1

е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е a=10).

Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ

f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}

каде што

f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: a^x. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е a=10).

Бијекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графиконот во точно една точка.
1. Бијекција. Сите коси прави се бијекции f(x):ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, a≠0.	2. Бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.	3. Не е бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x². (Не е сурјекција, ниту инјекција).
4. Бијекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10^x (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log₁₀x (дебела зелена).	5. Бијекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=∛x (дебела зелена).	6. Бијекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=√x (дебела зелена).

Наводи уреди

↑ Weisstein, Eric. „Bijective function“ (англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 January 2014.^{[мртва врска]}
↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 88. Посетено на 1 January 2014.
↑ Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics“ (англиски). Tripod. Посетено на 1 February 2014. |contribution= е занемарено (help)
↑ ^4,0 ^4,1 Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics, Cardinality. Facts on File, New York. стр. 60. ISBN 0-8160-5124-0. (англиски)
↑ „Inverse of Bijection is Bijection“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.
↑ „Injection iff Left Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.
↑ „Surjection iff Right Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.
↑ „Bijection iff Left and Right Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.

Поврзано уреди

Надворешни врски уреди

„Injective, Surjective, Bijective“ (англиски). 2013. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен квиз
„Injectivity, Surjectivity“ (англиски). Wolfram Alpha. Посетено на 1 декември 2013.^{[мртва врска]} интерактивно

[1] Weisstein, Eric. „Bijective function“ (англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 January 2014.^{[мртва врска]}

[2] C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 88. Посетено на 1 January 2014.

[3] Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics“ (англиски). Tripod. Посетено на 1 February 2014. |contribution= е занемарено (help)

[Tanton-4] 4,0 ^4,1 Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics, Cardinality. Facts on File, New York. стр. 60. ISBN 0-8160-5124-0. (англиски)

[5] „Inverse of Bijection is Bijection“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.

[6] „Injection iff Left Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.

[7] „Surjection iff Right Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.

[8] „Bijection iff Left and Right Inverse“ (англиски). Посетено на 1 February 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]