Алтернативен ред

Алтернативен ред е бесконечен ред во математиката од обликот:

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},

каде што a_n ≥ 0 (или a_n ≤ 0) за сите n. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума“.

Лајбницов критериум

Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите a_n монотоно конвергираат до 0.

Доказ

Да претпоставиме дека низата $a_{n}$ конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако $m$ е непарен број $m<n$ , проценката $S_{m}-S_{n}<a_{m}$ може да се добие преку следнава пресметка:

{\begin{aligned}S_{m}-S_{n}&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}\end{aligned}}

Бидејќи $a_{n}$ е монотоно опаѓачка низа, членовите $-(a_{m}-a_{m+1})$ се негативни. На тој начин се добива последното неравенство $S_{m}-S_{n}\leq a_{m}$ . На сличен начин може да се докаже дека $-a_{m}\leq S_{m}-S_{n}$ . Бидејќи $a_{m}$ конвергира до $0$ , делумните суми $S_{m}$ сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај $m$ да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција

Апсолутна конвергенција

Редот $\sum a_{n}$ конвергира апсолутно ако редот $\sum |a_{n}|$ конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.

Доказ

Да претпоставиме дека редот $\sum a_{n}$ е апсолутно конвергентен. Тогаш, $\sum |a_{n}|$ е конвергентен и следува дека $\sum 2|a_{n}|$ , исто така, конвергира. Бидејќи $0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|$ , редот $\sum (a_{n}+|a_{n}|)$ конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот $\sum a_{n}$ конвергира како разлика од двата конвергентни реда, $\sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|$ .