Транслација (геометрија)

Транслација на четириаголникот ABCD за вектор v (создаден со Геогебра)

Во геометријата, транслација на една фигура за даден вектор е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).^[1]

Основна поставка: При транслација, фигурата не е ротирана, не е превртена, и не е растегната. Само се лизга паралелно.^[2]

Пресметување на координатите на фигура по транслација

Означување и пресметување

Честопати трансформацијата транслација за вектор v се означува со: T_v.

Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека v е вектор со почетна точка P=(x_p,y_p) и крајна точка Q=(x_q,y_q).

Го формираме соодветниот полупречник-вектор r_v на v, т.е. r е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:

{\vec {r}}_{v}=

каде што

r_{x}=x_{q}-x_{p}

и

r_{y}=y_{q}-y_{p}

, т.е. крајната точка на r e

R=(r_{x},r_{y})

.

Тогаш:

T_{v}(F)=F+(r_{x},r_{y})=F+R=F'\,,

\,\,\,\,F'=\{(x+r_{x},y+r_{y})|(x,y)\in F\}

.

Пример: Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и v нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш

{\vec {r}}_{v}=<4-1,8-4>=<3,4>

,

R=(3,4)

и

F'=T_{v}(F)

е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).

Особини на транслација

Транслација како трансформацијата ги има следните особини:^[3]

Транслација е т.н. крута трансформација, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлексија.
Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се складни фигури.
По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат непроменети, т.е. транслација е изометрија.
По транслација, сите агли на фигурата остануваат непроменети.
По транслација, ориентацијата на фигурата не е променета. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
По транслација, паралелни прави сè уште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
Две последователни транслации се повторно транслација: T_uT_v=T_u+v.
Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. T_uT_v=T_vT_u.
Инверзната транслација на Т_v е Т_-v каде што -v е вектор со истата должина и правец како v, а обратна насока, т.е. Т_v+Т_-v=Т₀ (нема поместување).

Обопштување

Нека v е вектор во Евклидов простор ℝⁿ, a r нека е соодветниот полупречник-вектор со крајната точка R.

Транслација на ℝⁿ за v може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
- На пример, за n=3, ако A е произволна точка, Т_v(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Т_v((0,0,0))=R.

Претставување на транслација со матрици

Секоја транслација T_v за вектор v може да се претстави со т.н. транслациона матрица.

Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.^[4]

Нека v е вектор во Евклидов простор ℝ³, a r=<r_x,r_y,r_z> нека е соодветниот полупречник-вектор. Ја формираме 4х4 транслациона матрица:

T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{x}\\0&1&0&r_{y}\\0&0&1&r_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Потоа, нека A=(a_x,a_y,a_z) е произволна точка. Формираме проширена матрица-од-точка, односно 4х1 матрица:

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\1\end{bmatrix}}

Тогаш:

T_{\mathbf {v} }\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{x}\\0&1&0&r_{y}\\0&0&1&r_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}+r_{x}\\a_{y}+r_{y}\\a_{z}+r_{z}\\1\end{bmatrix}}

Значи, (како што треба) имаме:

T_{v}(A)=A+R=(a_{x}+r_{x}\,,\,a_{y}+r_{y}\,,\,a_{z}+r_{z})

Наводи

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 787. Посетено на 1 септември 2013.
↑ „Translate“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
↑ Bogomolny, A. (2010). „Translation Transform“ (англиски). Cut-the-Knot. Посетено на 1 септември 2013. интерактивeн
↑ Richard, Paul (1981). Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 978-0262160827.

Поврзани теми

Надворешни врски

Стојановска, Л. (2013). „Транслација“. Архивирано од изворникот на 2012-04-26. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Транслација“. Посетено на 1 септември 2013.
Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Транслација на објект за вектор“. Посетено на 1 септември 2013.
Arnold, Lance (2013). „Rigid Motion in the Plane“ (PDF) (англиски). Посетено на 1 септември 2013.^{[мртва врска]}
Zuidema, M. (2013). „Rigid Motion in the Plane“ (англиски). GeoGebraTube. Посетено на 1 септември 2013.^{[мртва врска]} интерактивен

[1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 787. Посетено на 1 септември 2013.

[2] „Translate“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

[3] Bogomolny, A. (2010). „Translation Transform“ (англиски). Cut-the-Knot. Посетено на 1 септември 2013. интерактивeн

[4] Richard, Paul (1981). Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 978-0262160827.

[1]

[2]

[3]

[4]