Сферичен дизајн

Сферичен дизајн, дел од теоријата на комбинаторниот дизајн во математиката, е конечно множество од N точки на d -димензионалната единица хиперсфера S ^d така што просечната вредност на кој било полином f од степен t или помал во множеството е еднаква на просекот вредност на f на целата сфера (односно, интегралот на f над S ^d поделен со плоштината или мерката на S ^d ). Таквото множество често се нарекува и сферичен t - дизајн за да се означела вредноста на t, што е основен параметар. Концептот на сферичен дизајн се должи на Делсарт, Геталс и Зајдел, иако овие објекти порано биле сфатени како посебни примери на кубатурни формули.

Сферичните дизајни можат да бидат од вредност во теоријата на апроксимација, во статистиката за експериментален дизајн, во комбинаториката и во геометријата. Главниот проблем е да се најдат примери, дадени d и t, кои не се премногу големи; сепак, може да биде тешко да се дојде до такви примери. Сферичните т-дизајни, исто така, неодамна биле присвоени во квантната механика во форма на квантни т-дизајни со различни апликации во теоријата на квантната информација и квантното пресметување.

Постоење на сферични дизајни

Постоењето и структурата на сферични дизајни на кругот беа проучени во длабочина од Хонг. Набргу потоа, Сејмур и Заславски докажале дека такви дизајни постојат од сите доволно големи димензии; односно, дадени позитивни цели броеви d и t, постои број N ( d, t ) таков што за секој N ≥ N ( d, t ) постои сферичен t -дизајн на N точки во димензија d. Сепак, нивниот доказ не дал идеја за тоа колку е голем N ( d, t ).

Мимура конструктивно нашол услови во однос на бројот на точки и димензијата што го карактеризираат токму кога постојат сферични 2-дизајн. Колекциите на рамноаголни линии со максимална големина (до идентификација на линиите како антиподални точки на сферата) се примери на сферични 5-дизајни со минимална големина. Постојат многу спорадични мали сферични дизајни; многу од нив биле поврзани со конечни групни дејства на сферата.

Во 2013 година, Бондаренко, Радченко и Виазовска ја добиле асимптотската горна граница $N(d,t)<C_{d}t^{d}$ за сите позитивни цели броеви d и т . Ова асимптотички се совпаѓала со долната граница дадена првично од Делсарт, Геталс и Зајдел. Вредноста на C _d засега е непозната, додека точните вредности на $N(d,t)$ се познати во релативно малку случаи.

Прикажани се докази кои сугерираат дека, во три димензии, сферични

1-дизајни со N точки постојат ако N >= 2 (ова е познато);

2-дизајни со N точки постојат ако N = 4 или >= 6 (ова е познато);

3-дизајни со N точки постојат ако N = 6, 8, >= 10;

4-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 14 >= 20;

5-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 16, 18, 20 >= 22 ;

6-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 26, >= 28 ;

7-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 30, 32, 34, >= 36 ;

8-дизајни со N точки постојат ако N = 36 , 40, 42, >= 44 ;

9-дизајни со N точки постојат ако N = 48 , 50, 52, >= 54 ;

10-дизајни со N точки постојат ако N = 60 , 62, >= 64 ;

11-дизајни со N точки постојат ако N = 70 , 72, >= 74 ;

12-дизајни со N точки постојат ако N = 84 , >= 86 .

Поврзано

• Проблем со Томсон

Надворешни врски

• Сферични т-дизајни за различни вредности на N и t може да се најдат претходно пресметани на веб-страницата на Нил Слоун .

Наводи

• Bondarenko, Andriy; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013), „Optimal asymptotic bounds for spherical designs“, Annals of Mathematics, Second Series, 178 (2): 443–452, arXiv:1009.4407, doi:10.4007/annals.2013.178.2.2, MR 3071504.
• Mimura, Yoshio (1990), „A construction of spherical 2-design“, Graphs and Combinatorics, 6 (4): 369–372, doi:10.1007/BF01787704.
• Delsarte, P.; Goethals, J. M.; Seidel, J. J. (1977), „Spherical codes and designs“, Geometriae Dedicata, 6 (3): 363–388, doi:10.1007/BF03187604, MR 0485471. Reprinted in Seidel, J. J. (1991), Geometry and combinatorics: Selected works of J. J. Seidel, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, MR 1116326.
• Hong, Yiming (1982), „On spherical t-designs in R²“, European Journal of Combinatorics, 3 (3): 255–258, doi:10.1016/S0195-6698(82)80036-X, MR 0679209.
• Seymour, P. D.; Zaslavsky, Thomas (1984), „Averaging sets: a generalization of mean values and spherical designs“, Advances in Mathematics, 52 (3): 213–240, doi:10.1016/0001-8708(84)90022-7, MR 0744857.

http://neilsloane.com/sphdesigns/