Векторски простор: Разлика помеѓу преработките

Напомена: векторскиот простор е '''затворен''' во однос на во него дефинираните операции, т.е. ако едно множество е векторски простор тогаш преку операциите не може да се „излезе од неговите граници“, т.е. не постојат вектори кои припаѓаат во просторот, а чиј збир не припаѓа во просторот, ниту таков вектор од просторот и таков скалар од полето чијшто производ не припаѓа во просторот.

 

 

Да избереме неколку вектори од векторскиот простор: <math>\ v_1, v_2,..., v_n \in V</math> и од нив да формираме множество <math>\ S</math>, т.е.: <math>\ S = \{ v_1, v_2,..., v_n \}</math>. За множеството <math>\ S</math> се вели дека е '''генератор (генераторно множество) за векторскиот простор''' <math>\ V</math> ако секој вектор од просторот може да се запише како [[Линеарна зависност|линеарна комбинација]] од векторите од множеството <math>\ S</math>, т.е. ако постојат скалари <math>\ a_1, a_2,..., a_n \in \Bbb{F}</math> такви што за произволен вектор <math>\ x \in V</math> точно е:

Базата на просторот не е единствена, т.е. еднозначно определена. Тоа значи дека за секој простор постојат бесконечно многу бази. Теориски, било кое линеарно независно множество вектори од еден простор може да сочинува база за тој простор. Но, како и да е, димензијата на просторот секогаш е еднозначно определена - сите бази на просторот се сочинети од ист број вектори.

 

Слично како што во однос на ''множеството'' се разгледува ''подмножество'', така во однос на ''векторскиот простор'' се разгледува ''векторски потпростор''. Бидејќи самиот векторски простор е множесвто, логички се наметнува заклучокот дека потпросторот е негово подмножество; но не било какво подмножество. Имено потпросторот мора да е '''сам за себе простор''', односно за сите елементи од подмножеството да важат аксиомите за векторски простор. Само тогаш може да се каже дека едно подмножество е векторски потпростор. И потпросторите од еден векторски простор не се еднозначно определени. Од друга страна, бидејќи потпросторот ги „наследува“ операциите од просторот, доволно е да покажеме дека, за секои <math>\ x, y \in W</math> и секои <math>a, b \in F</math> векторот: <math>a\cdot x + b\cdot y \in W</math>, каде со <math>\ W</math> е означено (под)множество вектори од просторот <math>\ V</math> за кое испитуваме дали е векторски потпростор. Релацијата „''е векторски потпростор од''“ се бележи со знакот <math>\ \le</math>. Така, ако <math>\ W</math> е потпростор од <math>\ V</math> пишуваме: <math>\ W \le V</math>.