Сурјективна функција: Разлика помеѓу преработките

| width="210"|'''Сурјекција'''. До секој елемент во кодоменот B има стрелка од (барем еден) елемент од доменот А.

Во [[математика]]та, '''сурјективна функција''' е [[функција (математичко образование)|функција]] ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' ако секој елемент во ''B'' е слика на барем еден елемент од ''A'', односно за секој елемент ''b'' од [[функција (математичко образование)|кодоменот]] ''B'' постојпостои '''барем''' еден елемент ''a'' од [[функција (математичко образование)|доменот]] ''А'' таков што ''f''(''a'')=''b'', т.е. кодоменот и [[функција (математичко образование)|сликата]] на ''f'' е истото множество.<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Surjection.html| last1=Weisstein|first1=Eric|title=Surjective function |publisher=From MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=January 2014}}</ref><ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Onto Mapping | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=568|language=англиски||accessdate=January 2014}}</ref>

Терминот ''сурјективност'' и сродните термини [[инјективна функција|''инјективност'']] и [[бијективна функција|''бијективност'']] беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)<ref>{{cite web | url = http://jeff560.tripod.com/i.html | title = Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics | contribution = Injection, Surjection and Bijection | publisher = Tripod | first = Jeff|last=Miller| year=2010 |language=англиски|accessdate=February 2014}}</ref> (и група главно други, главно француски, математичари од 20-тиот век) кој, почнувајќи од 1935 година, напиша серија книги за презентирање на модернамодерната напредна математика, со почеток во 1935 година. Францускиот префикс ''сур'' значи ''над'' или ''одозгореодозгора'' и се однесува на фактот дека сликата на доменот на сурјективна функција целосно го покрива кодоменот на функцијата.

| width="210"|'''Не е сурјекција'''. ПостојПостои елемент во кодоменот В без стрелка од елемент во доменот А.

==Основни своиствасвојства==

Елементот <math>a</math> се вика '''предсликапретслика''' на елементот <math>b</math>.

*Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот ''B'' има барем една предсликапретслика во доменот ''A''.

ПредсликаПретслика на сурјекција '''не''' мора да биде едниственаединствена. Во првата слика, и {X} и {Y} се предсликипретслики на елементот {1}. Baжно е да има барем една предсликапретслика. (Види и: [[Инјективна функција]], [[Бијективна функција]])

*'''Графичко толкување''': функцијата ''f'' е сурјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графикотграфиконот на ''f'' во (барем) една точка.

*'''Алгебарско толкување''': функцијата ''f'' е сурјективна ако за било кој било реален број ''y''_o може да се најде (барем еден) реален број ''x''_o таков што ''y''_o=''f''(''x''_o).

Во математиката, освен за полиноми од прв, втор (и трет степен) не постојат аналитички методи за одредување на корен, туку истите се одредуваат нумерички.

'''Пример:''' Линеарната функција на било која било коса права е сурјективна, односно ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0 е сурјекција (и инјекција, така дашто е бијекција). (Види [[линеарна функција]].)

:Доказ: Заменувајќи било кој било реален број ''y''_o во функцијата и решајќирешавајќи за ''x'', се добива ''x''= (''y''_o-''b'')/_''a'' така дашто ''x''_o=(''y''_o-''b'')/_''a''. Со ова се докажедокажа сурјективноста на функцијата ''y''=''ax''+''b'' каде што ''a''&ne;0. (Бидејќи има точно едно решение за секој ''y''_o, оваа функција е и инјективна.)

:Практичен пример: ''y''= &ndash;2''x''+4. Кој е предсликапретслика на ''y''=2? Тука ''a''=&ndash;2, т.е. ''a''&ne;0 и прашањето е: за кој ''x'' e ''y''=2? Заменувајќи ''y''=2 во функцијата се добива ''x''=1, т.е. ''y''(1)=2.

:Дискусија: Кубна полиномаполиномна равенка ''x''³-3''x''-''y''_o=0 има реални коефициенти (''a''₃=1, ''a''₂=0, ''a''₁=&ndash;3, ''a''₀=&ndash;''y''_o), а секоја кубна полиномна равенка има барем еден реален корен.<ref name=Tanton>{{cite book|title=Encyclopedia of Mathematics|last1=Tanton|first1=James|year=2005|publisher=Facts on File, New York|isbn=0-8160-5124-0|contribution =Cubic equation|page=112-113}} {{en}}</ref> Бидејќи доменот на функцијата е &#8477;, следува дека постои (барем еден) ''x''_o таков што (''x''₀)³-3''x''₀-''y''_o=0 и функцијата е сурјективна. (Меѓутоа, оваа функција не е инјективна. На пример, ''y''_o=2 има две предсликипретслики: ''x''=&ndash;1 и ''x''=2 , а всушност за секој ''y'', &ndash;2≤''y''≤2 функцијата има повеќе од еднa предсликапретслика, т.е. повеќе од еден ''x'' таков што ''f''(''x'')=''y''.)

| width="230"|[[Податотека:zisy.png|220px]]<hr /> Сурјекција. ''z'':&#8477;&sup2;→&#8477;, ''z''=''y''. (Во сликата се показжува дека предсликатапретсликата на z=2 е правата y=2.)

*Проекцијата на [[декартовДекартов производ]] {{Nowrap|''A'' × ''B''}} на еден од неговите фактори е сурјективна функција.

'''Пример:''' Функцијата ''f''((''x'',''y'')):&#8477;&sup2;→&#8477; дефинирана со ''z''=''y'' е сурјективна. ГрафикотГрафиконот е рамнина во 3-димензионален простор, а предсликапретслика на ''z''_o е правата y=''z''_o во ''x''0''y'' рамнината.