Непрекинатост на функција: Разлика помеѓу преработките
| [непроверена преработка] | [непроверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Нема опис на уредувањето |
|||
Ред 88:
= Рамномерна непрекинатост =
Во [[Математичка анализа|математичката анализа]] се јавува уште еден поим: ''рамномерна непрекинатост на функција''. Рамномерната непрекинатост, за разлика од непрекинатоста, е поврзана за потесна класа функции: функцијата може да е непрекината, меѓутоа да не е рамномерно непрекината. Од друга страна, обратното е секогаш точно: ако функцијата е рамномерно непрекината тогаш таа секогаш е и непрекината.
Нека <math>\ f:[a,b] \to \Bbb{R}</math> е реална функција определена на интервалот <math>\ [a,b]</math>. За функцијата <math>\ f</math> се вели дека е рамномерно непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> ако: за секој <math>\epsilon>0</math>, постои <math>\delta>0</math> така што за сите точки <math>x^\prime, x^{\prime\prime}</math> за кои важи <math>\ |x^\prime - x^{\prime\prime}|<\delta</math> важи и <math>\ |f(x^\prime)-f(x^{\prime\prime})|<\epsilon</math>.
Разликите меѓу непрекинатост и рамномерна непрекинатост се следниве:
* непрекинатоста се разгледува во точка, додека рамномерната непрекинатост на цел интервал;
* при разгледување на непрекинатост, изборот на величината <math>\delta</math> зависи од точката во која се испитува непрекинатост и од произволниот <math>\epsilon</math>. При разгледување на рамномерна непрекинатост изборот на ова <math>\delta</math> треба да не зависи од точките, туку (евентуално) само од <math>\epsilon</math>, односно да е фиксно за сите можни избори на точките <math>x^\prime, x^{\prime\prime}</math>;
Врската меѓу непрекинатоста и рамномерната непрекинатост е следнава:
* Ако функција е рамномерно непрекината на интервал, тогаш таа е и непрекината во секоја точка од тој интервал. Обратното не мора да важи;
* Ако функција е непрекината на затворен и ограничен интервал, тогаш таа е и рамномерно непрекината на тој интервал.
== Пример ==
* Да се испита рамномерната непрекинатост на функцијата <math>\ f(x)=x^2</math> на симетричен интервал <math>(-M,M)</math>
Постапката е иста како при испитување непрекинатост: нека <math>\epsilon>0</math> е произволен и нека <math>\delta>0</math> величина чија зависност од <math>\epsilon</math> треба да ја утврдиме. Нека за точките <math>\ x,y \in (-M,M)</math> важи: <math>\ |x-y|<\delta</math>. Тогаш:
: <math>\ |f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|(x-y)(x+y)|=|x-y||x+y|<\delta|M+M|=2M\delta</math>
Ако сега за <math>\delta</math> избереме вредност: <math>\delta=\frac{\epsilon}{2M}</math>, тогаш важи: <math>\ |f(x)-f(y)|<\epsilon</math>
што значи дека функцијата <math>\ f(x)=x^2</math> е рамномерно непрекината на интервалот <math>\ (-M,M)</math>.
Забелешка: величината <math>\delta </math> зависи само од изборот на <math>\epsilon</math> и (полу)должината на интервалот - <math>\ M</math>.
= Својства на непрекинатите функции =
| |||