Паралелограмски закон

Во математиката, наједноставна форма на паралелограмскиот закон (исто така наречен паралелограмски идентитет) припаѓа на елементарната геометрија. Тоа значи дека збирот на квадратите од должините на четирите страни на паралелограмот се еднакви со збирот на квадратите на должините на дијагоналите. Користејки ја нотацијата на дијаграмот десно, страните се (AB), (BC), (CD), (DA). Но, бидејќи според Евклидовата геометрија кај паралелограмот спротивните страни се секогаш еднакви, или (AB) = (CD) and (BC) = (DA), законот е запишан како

Паралелограм. Страните се со сина, а дијагоналите со црвена боја.

$2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,$

Ако паралелограмот е правоаголник, двете дијагонали се со еднаква должина (AC) = (BD) па,

$2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,$

и изразот се сведува на Питагоровата теорема. Кај основниот четириаголник на кој четирите страни се не се задолжително еднакви,

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2},\,$

каде што х е должина на отсечката заедно со средишни точки на дијагоналите. Од дијаграмот може да се види дека за паралелограм каде што х = 0,и основната формула се упростува до степен на паралелограмскиот закон.

Паралелограмскиот закон во внатрешноста на телата

Вектори вклучени во паралелограмскиот закон.

Во нормиран простор, изразот на паралелограмскиот закон е равенка со.. relating norms:

$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,$

Во внатрешноста на телата, правилото е одредено користејќи ја внатрешноста.

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,$

Како последица од оваа дефиниција, вовнатрешноста на телата, паралелограмскиот закон е алгебарска еднаквост, лесно формирана користејќи ги особеностите на внатрешноста.

$\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,$

$\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,$

Додавајќи ги овие два израза:

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,$

според бараното.

Ако х е orthogonal to y, тогаш$\langle x,\ y\rangle =0$ и горната равенк за правилото за збир станува:

$\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},$

што е Питагорова теорема.

Нормирани векторски простори во паралелограмскиот закон

Најчесто реалните и комплексните нормирани векторски простори, немаат внатрешни производи, но сите нормирани векторски простори имаат норми (по дефиниција).

На пример, вообичаено употребувана норма е p-norm:

$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},$

каде што $x_{i}$ е компонента на векторот $x$.

Со дадената норма, може да се оценат двете страни на паралелограмскиот закон погоре. Препознатлив факт е дека ако паралелограмскиот закон е изоставен, во тој случај нормата мора да произлезе а на вообичаен начин од некоја внатрешност. Особено, тоа ја содржи p-norm ако и само ако p = 2, таканаречената Евклидова норма или стандардна норма.

За која било норма која го исполнува паралелограмскиот закон (кое задолжително е норма за внатрешноста), внатрешноста создава норма која е единствена како последица на идентитетот на поларизацијата. Во вистински случај, идентитетот на поларизацијата е даден како:

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,$

или, еднакви, како:

${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}{\text{ or }}{\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.\,$

Во сложен случај е дадено како:

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.$

На пример, користејќи ја p-norm ако p = 2 и вистински вектори $x,\ y\,$, проценката на внатрешноста продолжува како што следи:

${\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}\\&={\frac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=(x\cdot y),\end{aligned}}$

кое е стандарден скаларен производ од два вектора.

Поврзано

• Комутативност
• Простор на внатрешен производ
• Нормиран векторски простор
• Поларизационен идентитет

Надворешни врски

• „Parallelogram Law“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• The Parallelogram Law Proven Simply at Dreamshire blog
• The Parallelogram Law: A Proof Without Words at cut-the-knot
• A generalization of the "Parallelogram Law/Identity" to a Parallelo-hexagon and to 2n-gons in General - Relations between the sides and diagonals of 2n-gons (Douglas' Theorem) Архивирано на 4 март 2014 г. at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.