Основи на математиката

Основи на математиката е израз кој понекогаш се употребува во некои полиња на самата математика, имено за математичката логика, аксиоматската теорија на множествата, доказната теорија, теоријата на моделите и теоријата на рекурзијата. Меѓутоа потрагата по основите на математиката е централно прашање на филозофијата на математиката: На која фундаментална основа можат математичките искази да се сметаат за точни?

Основачката филозофија на Платонистичкиот математички реализам, (чиј пример е математичарот Курт Гедел), вели дека постои свет на математички предмети независен од човекот; човекот ги открива вистините за овие предмети. Според ова гледиште, законите на природата и законите на математиката се со сличен статус, и делотворноста на случаите е неразумна. Тукa основата не ја сочинуваат нашите аксиоми, туку вистинскиот свет на математичките предмети. Така, очигледното прашање е: како да пристапиме кон овој свет? (вид. Anglin 1991, стр. 218)

Основачката филозофија на формализмот, (чиј пример е Давид Хилберт), се заснова на аксиоматската теорија на множествата и формалната логика. Практично сите математички теореми денес можат да се формулираат како теореми на теоријата на множествата. Според ова, вистинитоста на некој математички исказ, не е ништо повеќе од тврдење дека исказот може да се изведе од аксиомите за теоријата на множествата користејќи ги правилата на формалната логика (вид. Anglin 1991 стр. 218).

Користењето на формализмот само по себе не дава објаснение за неколку проблеми: зошто треба да ги користиме аксиомите кои ги користиме, а не неки други, зошто ги користиме логичките правила, а не некои други, зошто „точните“ (вистинските) математички искази (на пр. законите на аритметиката) излегуваат вистинити во физичкиот свет итн; меѓутоа често овие прашања можат достатно да се одговорат по пат на изучување на формалните теории, кај дисциплините како обратна математика и теорија на пресметковната комплексност. Формалните системи исто така ризикуваат да бидат недоследни; кај Пеановата аритметика, овој проблем е веројатно веќе решен, по пат на неколку докази за доследност, но сепак спорно е дали тие се доволноконечни за да имаат значење. Геделовата втора теорема за непотполноста воспоставува дека формалните системи на аритметиката не можат да содржат валиден доказ за нивната сопствена доследност.

Основачката филозофија интуиционизам или конструктивизам, (чиј пример, во екстрем, е Брауер и покохерентно од С. К. Клини) бара доказите да бидат „конструктивни“ по природа – постоењето на еден предмет мора да се покаже, наместо да се изведе од покажување на непостоење. На пример, како последица од ова, обликот на доказот познат како редукција до апсурд е осомничен (вид. Anglin 1991 стр. 218).

Некои современи теории во филозофијата на математиката го порекнуваат постоењето на основи во првична смисла. Некои теории се задржуваат на математичката практика, и се стремат да ја опишат и анализираат фактичката работа на математичарите како општествена група. Други се обидуваат да создадат когнитивистика на математиката, задржувајќи се на човековото сфаќање како извор на издржаноста на математиката при нејзината примена во вистинскиот свет. Според овие теории, основите лежат само во човековата мисла, а не во некакви објективни надворешни творби. Ова продолжува да биде спорно.

Наводи

• На англиската верзија

Поврзано

• Епистемологија
• Математичка логика
• Евклидови „Елементи“
• Парадокс на лажгото
• Нови Основи
• Филозофија на математиката
• Принципија Математика
• Квазиемпиризам во математиката

Надворешни врски

• Што е „Основи на математиката“? Архивирано на 31 август 2005 г. (англиски)
• Логиката и математиката Архивирано на 25 октомври 2005 г. (англиски)