Кејсиева теорема

Кејсиева теорема, позната и како воопштена Птоломеева теорема — теорема во Евклидовата геометрија именувана по ирскиот математичар Џон Кејси .

Формулација на теоремата

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

Нека $\,O$ е кружница со радиус $\,R$. Нека $\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ се (по тој редослед) четири непресечни кружници кои лежат во внатрешноста на $\,O$ и ја допираат. Ја означуваме со $\,t_{ij}$ должината на надворешната заедничка битангента на кружниците $\,O_{i},O_{j}$. Важи:

$\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

Забележете дека во дегенерираниот случај, каде што сите четири кружници се намалуваат до точки, ова е токму Птоломеевата теорема.

Доказ

Следниов доказ му се припишува на Захаријас. Го означуваме радиусот на кружницата$\,O_{i}$ со $\,R_{i}$ и допирните точки со кружницата $\,O$ со $K_{i}$. Ќе ги означиме со $\,O,O_{i}$ центрите на кружниците. Од Питагоровата теорема, важи

$\,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.$

Ќе се обидеме да ја изразиме оваа должина преку точките $\,K_{i},K_{j}$ . Според косинусната теорема во триаголникот $\,O_{i}OO_{j}$ ,

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}$

Бидејќи кружниците $O$ и $O_{i}$ се тангентни една на друга, важи

${\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}$

Нека $\,C$ е точка на кружницата $\,O$. Од синусната теорема во триаголникот $\,K_{i}CK_{j}$:

${\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}$

Затоа,

$\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}$

и заменувајќи ги овие во формулата погоре, добиваме

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)$

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

И конечно, должината која ја бараме е

$t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}$

Сега можеме да ја изразиме левата страна, со помош на изворната Птоломеева теорема применета на впишаниот четириаголник $\,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$ :

${\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}$

Понатамошни воопштувања

Може да се види дека четирите кружници не мора да лежат во внатрешноста на големата кружница. Всушност, тие можат да бидат тангентни на неа и однадвор. Во тој случај треба да се направи следнава промена:

Ако $\,O_{i},O_{j}$ и двете ја допираат $\,O$ од иста страна (и двете однатре или и двете однадвор), $\,t_{ij}$ е должината на надворешната заедничка тангента.

Ако $\,O_{i},O_{j}$ се ја допираат $\,O$ од различни страни (едната однатре, а другата однадвор), $\,t_{ij}$ е должината на внатрешната заедничка тангента.

Обратното тврдење на Кејсиевата теорема е исто така точно. Тоа значи дека, ако важи равенство, кружниците се допираат со една иста кружница.

Примени

Кејсиевата теорема и нејзината спротивна може да се користат за докажување на различни тврдења во Евклидовата геометрија. На пример, во најкраткиот познат доказ на Фојербаховата теорема се користи обратната теорема.

Надворешни врски

• „Casey's theorem“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Shailesh Shirali: "'On a generalized Ptolemy Theorem'". In: Crux Mathematicorum, Vol. 22, No. 2, pp. 49–53