Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка :
(
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
)
u
(
r
,
t
)
=
0.
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}
Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:
u
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
T
(
t
)
.
{\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}
Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:
∇
2
A
A
=
1
c
2
T
d
2
T
d
t
2
.
{\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.}
Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:
∇
2
A
A
=
−
k
2
{\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}}
и
1
c
2
T
d
2
T
d
t
2
=
−
k
2
{\displaystyle {1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}}
Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:
∇
2
A
+
k
2
A
=
(
∇
2
+
k
2
)
A
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}
а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција
ω
=
d
e
f
k
c
{\displaystyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc}
d
2
T
d
t
2
+
ω
2
T
=
(
d
2
d
t
2
+
ω
2
)
T
=
0
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,}
Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна честота.
уреди
За Хелмхолцовата равенка:
(
∇
2
+
k
2
)
A
=
0
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0}
Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:
Δ
A
=
1
r
∂
∂
A
(
r
∂
A
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
A
∂
ϕ
2
=
1
r
∂
A
∂
r
+
∂
2
A
∂
r
2
+
1
r
2
∂
2
A
∂
ϕ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta A&={1 \over r}{\partial \over \partial A}\left(r{\partial A \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}&={1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}.\end{aligned}}}
Заради тоа равенката (7) станува:
1
r
∂
A
∂
r
+
∂
2
A
∂
r
2
+
1
r
2
∂
2
A
∂
ϕ
2
+
(
k
2
)
A
=
0
{\displaystyle {1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}+(k^{2})A=0}
Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:
A
(
r
,
θ
)
=
R
(
r
)
Θ
(
θ
)
,
{\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,}
каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:
Θ
″
+
n
2
Θ
=
0
,
{\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,}
и
r
2
R
″
+
r
R
′
+
r
2
k
2
R
−
n
2
R
=
0.
{\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,}
Решенијата од (9) и (10) се:
Θ
=
α
cos
n
θ
+
β
sin
n
θ
,
{\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,}
R
(
r
)
=
γ
J
n
(
ρ
)
,
{\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,}
каде
J
n
(
ρ
)
{\displaystyle J_{n}(\rho )}
Беселова функција , која е решение на Беселовата равенка:
ρ
2
J
n
″
+
ρ
J
n
′
+
(
ρ
2
−
n
2
)
J
n
=
0
,
{\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}
уреди
Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:
A
(
r
,
θ
,
φ
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
(
a
ℓ
m
j
ℓ
(
k
r
)
+
b
ℓ
m
y
ℓ
(
k
r
)
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
.
{\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr))Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).}
каде
j
ℓ
(
k
r
)
{\displaystyle j_{\ell }(kr)}
y
ℓ
(
k
r
)
{\displaystyle y_{\ell }(kr)}
сферни Беселови функции , а :
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })}
сферните хармоници .
уреди
Нехомогената Хелмхолцова равенка:
(
Δ
+
k
2
)
U
=
f
{\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f}
се решава со помош на Гриновата функција , односно:
∇
2
G
(
x
)
+
k
2
G
(
x
)
=
δ
(
x
)
.
{\displaystyle \nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).\,}
Бидејќи е:
(
△
+
k
2
)
1
|
x
|
e
i
k
|
x
|
=
e
i
k
|
x
|
△
1
|
x
|
+
2
(
grad
e
i
k
|
x
|
,
grad
1
|
x
|
)
+
1
|
x
|
△
e
i
k
|
x
|
+
k
2
|
x
|
e
i
k
|
x
|
=
{\displaystyle (\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=}
=
−
4
π
e
i
k
|
x
|
δ
(
x
)
+
(
−
2
i
k
|
x
|
2
+
2
i
k
|
x
|
2
−
k
2
|
x
|
+
k
2
|
x
|
)
e
i
k
|
x
|
=
−
4
π
δ
(
x
)
.
{\displaystyle =-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).}
G
1
(
x
)
=
−
e
i
k
|
x
|
4
π
|
x
|
,
G
2
=
−
e
−
i
k
|
x
|
4
π
|
x
|
.
{\displaystyle G_{1}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad G_{2}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.}
Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:
(
Δ
+
k
2
)
G
(
r
→
,
r
→
′
)
=
δ
(
r
→
−
r
→
′
)
{\displaystyle \left(\Delta +k^{2}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')}
а Гриновата функција како:
G
(
r
→
,
r
→
′
)
=
−
exp
(
±
i
k
|
r
→
−
r
→
′
|
)
4
π
|
r
→
−
r
→
′
|
{\displaystyle G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-{\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}
Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:
U
(
r
→
)
=
∫
d
3
r
′
f
(
r
→
′
)
G
(
r
→
,
r
→
′
)
=
−
∫
d
3
r
′
f
(
r
→
′
)
exp
(
±
i
k
|
r
→
−
r
→
′
|
)
4
π
|
r
→
−
r
→
′
|
{\displaystyle U({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}
Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 .
Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
Хелмхолцови равенки 
