Хелмхолцова равенка

Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:

каде претставува Лапласов оператор, е бранов број, а амплитуда. Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:

ИзводУреди

Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:

  (1)

Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:

  (2)

Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:

  (3)

Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:

  (4)

и

  (5)

Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:

  (6)

а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција   се добива:

 

Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна фреквенција.

Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливитеУреди

За Хелмхолцовата равенка:

  (7)

Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:

 

Заради тоа равенката (7) станува:

  (8)

Се прави обид равенката да се реши со сепарација на варијаблите:

 

каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:

  (9)

и

  (10)

Решенијата од (9) и (10) се:

 
 

каде   е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:

 

Тродимензионално решение во сферни координатиУреди

Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:

 

каде   и   се сферни Беселови функции, а :  ги претставува сферните хармоници.

Нехомогена Хелмхолцова равенкаУреди

Нехомогената Хелмхолцова равенка:

 

се решава со помош на Гриновата функција, односно:

 

Бидејќи е:

 

 

тогаш е тродимензионална Гринова функција:

 

Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:

 

а Гриновата функција како:

 

Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како:  

ПоврзаноУреди

Лапласова равенка

ЛитератураУреди

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
  • Хелмхолцови равенки

Надворешни врскиУреди