Топологии на простор од оператори

Во математичкото поле функционална анализа постојат неколку стандардни топологии кои се дадени на алгебрата $B(X)$ од ограничени линеарни оператори на Банахов простор $X$.

Вовед

Нека $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ е низа од линеарни оператори на Банахoв простор $X$. Го разгледуваме исказот: низата $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ конвергира кон некој оператор $T$ на $X$. Ова може да има неколку различни значења:

• Ако $\|T_{n}-T\|\to 0$, односно нормата на операторот $T_{n}-T$ (супремумот на $\|T_{n}x-Tx\|_{X}$, каде што $x$ припаѓа на единичната топка во $X$) конвергира кон 0, велиме дека $T_{n}\to T$ во рамномерната операторна топологија.
• Ако $T_{n}x\to Tx$ за секој $x\in X$, тогаш велиме $T_{n}\to T$ во силната операторна топологија.
• Конечно, да претпоставиме дека за секој $x\in X$ важи $T_{n}x\to Tx$ во слабата топологија на $X$. Ова значи дека $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ за сите непрекинати линеарни функционали $F$ на $X$. Во овој случај велиме дека $T_{n}\to T$ во слабата операторна топологија.

Список на топологии на $B(H)$

Дијаграм на релации (односи) меѓу топологиите на просторот $B(X)$ на ограничени оператори

Постојат многу топологии кои можат да се дефинираат на $B(X)$ покрај оние употребени погоре. Повеќето во почетокот се дефинирани само кога $X=H$ е Хилбертов простор, иако во многу случаи постојат соодветни генерализации. Сите топологии наведени подолу се локално конвексни, што значи дека тие се дефинирани преку фамилија oд семинорми.

Во математичката анализа, една топологија се нарекува посилна од друга ако во неа има повеќе отворени множества и послаба ако има помалку отворени множества. Значи, посилната топологија е надмножество на послабата. Соодветните видови на конвергенција се, соодветно, силни и слаби. (Во соодветната топологија, овие поими може да сугерираат спротивно значење, така што силните и слабите се заменуваат со, соодветно, фини и груби.) Дијаграмот од десната страна е резиме на односите, со стрелки кои покажуваат од посилна кон послаба топологија.

Ако $H$ е Хилбертов простор, линеарниот простор од оператори на Хилбертовиот простор $B(X)$ има (единствен) предуал $B(H)_{*}$, кој се состои од оператори на класата траги, чиј дуал е $B(X)$. Семинормата $p_{w}(x)$ за позитивнo $w$ во предуалот е дефинирана да биде $B(w,x^{*}x)^{1/2}$.

Ако $B$ е векторски простор од линеарни пресликувања на векторскиот простор $A,$ тогаш $\sigma (A,B)$ се дефинира како најслаба топологија на $A$ така што сите елементи на $B$ се непрекинати (континуирани).

• Топологијата на норма или рамномерната топологија или рамномерната операторна топологија се дефинира преку обичната норма $\|x\|$ на $B(H)$. Таа посилна од сите други топологии наведени подолу.
• Слабата топологија (на Банахов простор) е $\sigma (B(H),B(H)^{*})$. Со други зборови, тоа е најслабата топологија за која сите елементи на дуалот $B(H)^{*}$ сe непрекинати. Тоа е слабата топологија на Банаховиот простор $B(H)$. Таа е посилна од ултраслабата и слабата операторна топологија. (Внимавајте: слабата топологија на Банахов простор и слабата операторна топологија и ултраслабата топологија понекогаш сите се среќаваат под името слаба топологија. Но, во општ случај, станува збор за различни топологии.)
• Топологијата на Мекки (Mackey) или топологијата на Аренс-Мекки е најсилната локално конвексна топологија на $B(H)$ таква што дуалот е $B(H)^{*}$, и истовремено е топологијата на рамномерна конвергенција на $B\sigma B(H)^{*}$, $B(H)$-компактно конвексни подмножества во $B(H)^{*}$. Таа е посилна од сите топологии наведени подолу.
• σ-силната-^* топологија или ултрасилната-^* топологија е најслабата топологија посилна од ултрасилната топологија таква што адјунгираното пресликување е непрекинато. Таа се дефинира преку фамилијата од семинорми $p_{w}(x)$ и $p_{w}(x)^{*}$ за позитивните елементи $w$ од $B(H)^{*}$. Таа е посилна од сите топологии наведени подолу.
• σ-силната топологија или ултрасилната топологија или најсилната топологија или најсилната операторна топологија се дефинира преку фамилијата од семинорми $p_{w}(x)$$p_{w}(x)$ за позитивните елементи w oд $B(H)^{*}$. Таа е посилна од сите топологии подолу освен од силната^* топологија. Внимавајте: и покрај името „најсилна топологија“, таа е послаба од топологијата на норма.)
• σ-слабата топологија или ултраслабата топологија или слабата-<sup id="mwfA">*</sup> oператорна топологија или слабата-* топологија или слабата топологија или ${\boldsymbol {\sigma (B(H),B(H)^{*})}}$- топологијата се дефинира преку фамилијата од семинорми $|(w,x)|$ за елементите w oд $B(H)^{*}$. Таа е посилна од слабата операторна топологија. (Внимавајте: слабата топологија на Банахов простор, слабата операторна топологија и ултраслабата топологија понекогаш се нарекуваат слаба топологија, но во општ случај тие се различни.)
• Силната-^* oператорна топологија или силната-^* топологија се дефинира преку фамилијата од семинорми $\|x(h)\|$ и $\|x^{*}(h)\|$ за $h\in H$. Таа е посилна од силната и од слабата операторна топологија.
• Силната oператорна топологија (SOT) or силната топологија се дефинира преку фамилијата од семинорми $\|x(h)\|$ за $h\in H$. Таа е посилна од слабата операторна топологија.
• Слабата операторна топологија (WOT) или слабата топологија се дефинира преку семинормите $|x(h_{1}),h_{2})|$ за $h_{1},h_{2}\in H$. (Внимавајте: слабата топологија на Банахов простор, слабата операторна топологија и ултраслабата топологија понекогаш се нарекуваат слаба топологија, но во општ случај тие се различни.)

Релации меѓу топологиите

Непрекинатите линеарни функционали на $B(H)$ за слабата, силната и силната^* (операторна) топологија се исти и се конечни линеарни комбинации на линеарните функционали $(x(h_{1}),h_{2}))$ зa $h_{1},h_{2}\in H$. Непрекинатите линеарни функционали на $B(H)$ за ултраслабата, ултрасилната, ултрасилната^* и Аренс-Мекки топологиите се исти и се елементи на преддуалот $B(H)^{*}$ .

По дефиниција, непрекинатите линеарни функционали во топологијата на норма се исти како оние во слабата топологија на Банахов простор. Овој дуал е прилично голем простор со многу патолошки елементи.

Кај норма ограничените множества од $B(H)$, слабата (операторна) и ултраслабата топологија се совпаѓаат. Ова може да се види преку, на пример, теоремата Банах-Алаоглу. Во суштина, од истата причина ултрасилната топологија е иста како силната топологија на кое било (нормално) ограничено подмножество на $B(H)$ . Истото важи и за Аренс-Мекки топологијата, ултрасилната^* и силната^* топологија.

Во локално конвексни простори, затворачот на конвексно множество може да се карактеризира со непрекинати линеарни функционали. Затоа, за конвексно подмножество $K$ од $B(H)$, условите $K$ да биде затворено во ултрасилнaтa^*, ултрасилнaтa и ултраслабaтa топологиja се сите еквивалентни и исто така се еквивалентни на условите дека за сите $r>0$, $K$ има затворен пресек со затворена топка со радиус $r$ во силнaтa^*, силнaта или слабата (операторна) топологија.

Топологијата на норма е метризабилна, а другите не се; всушност тие не се ниту прво-бројливи. Меѓутоа, кога $H$ може да се одвои, сите топологии погоре се метризабилни кога се ограничени на единичната топка (или на кое било норма-ограничено подмножество ).

Топологии кои се употребуваат

Најчесто користени топологии се норма-топологијата, силната и слабата операторна топологија. Слабата операторна топологија е корисна за аргументи за компактност, бидејќи единичната топка е компактна според теоремата Банах-Алаоглу. Топологијата на норма е фундаментална затоа што го прави $B(H)$ Банахов простор, но е премногу силна за многу други цели; на пример, $B(H)$ во оваа топологија не е сепарабилен. Веројатно најчесто користена е силната операторна топологија.

Ултраслабата и ултрасилната топологија подобро се однесуваат отколку слабата и силната операторна топологија, но нивните дефиниции се покомплицирани, така што тие обично не се користат освен ако нивните подобри својства навистина не се неопходни. На пример, дуалниот простор на $B(H)$ во слабата или силната операторна топологија е премногу мал за да има доволно аналитичка содржина.

Адјунгираното пресликување не е непрекинато во силната операторна и во ултрасилната топологија, додека силната* и ултрасилната* топологија се модификации во кои адјунгираното пресликување станува непрекинато. Тие не се користат многу често.

Релативно ретко се користат топологијата Арен-Меки и слабата топологија на Банахов простор.

Да резимираме, трите суштински топологии на $B(H)$ се норма-топологијата, ултрасилната и ултраслабата топологија. Слабите и силните операторни топологии се широко користени како пригодни апроксимации на ултраслабите и ултрасилните топологии. Останатите топологии се релативно нејасни.

Наводи

• Функционална анализа, од Рид и Сајмон,ISBN 0-12-585050-6
• Теорија на Алгебри на оператори I, од М. Такесаки (особено поглавје II.2) ISBN 3-540-42248-X