Теорема за модуларноста

Теоремата на модуларноста (порано наречена Танијама–Шимурина(-Веева) претпоставка) — теорема што ја воспоставува врска помеѓу елиптичните криви на поле од рационални броеви и модуларните форми. Во 2001 г. претпоставката заеднички ја докажале математичарите Кристоф Бреј, Брајан Конрад, Фред Дајмонд и Ричард Тејлор, водејќи се по пристапите на Ендрју Вајлс кои ги искористил при докажувањето на Последната Фермаова теорема.

Теоремата на модуларноста претставува посебен случај на поопштите претпоставки заради Роберт Ланглендс. Ланглендсовиот програм има за цел да придодаде автоморфна форма или автоморфно претставување (соодветно воопштување на модуларна форма) на поопшти предмети на аритметичката алгебарска геометрија, како во секоја елиптична крива врз бројно поле. Највеќетo од овие проширени претпоставки сè уште не се докажани.

Исказ

Теоремата гласи дека секоја елиптична крива врз поле Q може да се добие преку рационално пресликување со целобројни коефициенти од класична модуларна крива

$X_{0}(N)\$

за некој цел број N; ова е крива со целобројни коефициенти е јаснао утврдена. Ова пресликување се нарекува модуларна параметризација на ниво N. Ако N е најмалиот цел број за кој може да се изнајде таква параметризација (број кој во контекст на оваа теорија денес се нарекува „проводник“ или „спроводник“), тогаш параметризацијата може да се утврди по пат на пресликување создадено од особен вид на модуларна форма со тежина 2 и ниво N, нормализиран новоформа со целобројно q-расчленување, и, по потреба, проследено со изогенија.

Теоремата на модуларноста подразбира еден мошне сроден аналитички исказ: на елиптична крива E врз Q можеме да придодадеме соодветна L-ред. L-редот е Дирихлеов ред, кој обично се изразува како

$L(s,E)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$

Создавачката функција на коефициентите $a_{n}$ тогаш ќе гласи

$f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.$

Ако замениме

$q=e^{2\pi i\tau }\$

тогаш гледаме дека сме го изразиле Фуриеровoто расчленување на функција $f(\tau ,E)$ на комплексната променлива τ, така што коефициентите на q-редот исто така се сметаат за Фуриерови коефициенти на $f$. Вака добиената функција, изненадувачки, излегува дека е параболична форма со тежина 2 и ниво N and is also an ајгенформа (ајгенвектор на сите Хекеови оператори); ова е т.н. Хасе–Веева претпоставка, која следи од теоремата на модуларноста.

Некои модуларни форми од второ ниво, пак, соодветствуваат на холоморфни дифренцијали за елиптична крива. Јакобиевата разновидност на модуларната крива може (до изогенија) да се изрази како производ од неупростлива Абелови разновидности, соодветни на Хекеовите ајгенформи со тежина 2. 1-димензионалните фактори се елиптични криви (може да постојат и фактори од виши димензии, и затоа не сите Хекеови ајгенформи соодветствуваат на рационални елиптични криви). Кривата што ќе ја добиеме со наоѓање на соодветната параболична форма, и конструирање на крива од неа, е изогенична во однос на првичната крива (но не во општа изоморфија со неа).

Наводи

• Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2001), „On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises“, Journal of the American Mathematical Society, 14 (4): 843–939, doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8, ISSN 0894-0347, MR1839918
• Darmon, Henri (1999), „A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced“ (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 46 (11): 1397–1401, ISSN 0002-9920, MR1723249Contains a gentle introduction to the theorem and an outline of the proof.
• Mazur, Barry (1991), „Number theory as gadfly“, The American Mathematical Monthly, 98 (7): 593–610, doi:10.2307/2324924, ISSN 0002-9890, MR1121312 Discusses the Taniyama-Shimura-Weil conjecture 3 years before it was proven for infinitely many cases.
• Shimura, Goro (1989), „Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections“, The Bulletin of the London Mathematical Society, 21 (2): 186–196, doi:10.1112/blms/21.2.186, ISSN 0024-6093, MR976064
• Taylor, Richard; Wiles, Andrew (1995), „Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras“, Annals of Mathematics. Second Series, 141 (3): 553–572, doi:10.2307/2118560, ISSN 0003-486X, MR1333036
• Weil, André (1967), „Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen“, Mathematische Annalen, 168: 149–156, doi:10.1007/BF01361551, ISSN 0025-5831, MR0207658
• Wiles, Andrew (1995), „Modular elliptic curves and Fermat's last theorem“, Annals of Mathematics. Second Series, 141 (3): 443–551, ISSN 0003-486X, MR1333035
• Wiles, Andrew (1995), „Modular forms, elliptic curves, and Fermat's last theorem“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, стр. 243–245, MR1403925

Надворешни врски

• Предлошка:Eom
• „Taniyama-Shimura Conjecture“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)