Таблични интеграли

Интегрирањето е една од двете основни операции во математичката анализа. Некои класи интеграли се решаваат шаблонски, според формулите или правилата кои опишуваат како се решава интеграл ако сме во состојба да препознаеме конкретен интеграл меѓу следните примери. На оваа страна се наоѓаат некои основни неодредени интеграли.

Правила за интегрирање општи функции

Хомогеност:

$\int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

Адитивност:

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

Парцијална интеграција:

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)$

Интеграли на едноставни функции

Рационални функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на рационални функции

$\int \,dx=x+C$

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C$

$\int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}\,\operatorname {arctg} {\frac {x}{a}}\ +C$

Логаритамски функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на логаритамски функции

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C$

Експоненцијални функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на експоненцијални функции

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

Ирационални функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на ирационални функции

$\int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {\frac {x}{a}}\ +C$

$\int {x \over {\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx={\mbox{arcsec}}\,{x}+C$

Тригонометриски функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на тригонометриски функции

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \operatorname {tg} {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C_{1}=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C_{2}$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

---

$\int \sec ^{2}x\,dx=\operatorname {tg} x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

---

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \operatorname {arctg} {x}\,dx=x\,\operatorname {arctg} {x}-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

Хиперболични функции

Повеќе интеграли на: Список на интеграли на хиперболични функции

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \operatorname {tgh} x\,dx=\ln(\cosh x)+C$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\operatorname {tgh} {x \over 2}\right|+C$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\operatorname {arctg} (\sinh x)+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C$

Несвојствени (неправи) интеграли

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$