Мера (математика): Разлика помеѓу преработките

с
Замена на застарена математичка синтакса согласно mw:Extension:Math/Roadmap
(embed {{Нормативна контрола}} with wikidata information)
с (Замена на застарена математичка синтакса согласно mw:Extension:Math/Roadmap)
== Конструкција на мерата ==
Едни од наједноставните подмножества од [[Реален број|множеството реални броеви]] се [[Интервал|интервалите]]. Особено важни се ''отворените интервали'' од облик
: <math>(a,b)=\{x\in \Bbbmathbb{R} | a<x<b\}</math>
 
бидејќи секое непразно и [[Отворено множество|отворено подмножество]] од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина <math>\ell</math> со:
: <math>\ell(a,b)=b-a</math>
 
Нека <math>E\subseteq \Bbbmathbb{R}</math> е произволно подмножество од реалните броеви, а <math>\{I_n\}_{n \in \Bbbmathbb{N}}</math> е произволна фалимија отворени интервали таква што:
 
: <math>E\subseteq \bigcup_{n\in \Bbbmathbb{N}} I_n = \mathcal{U}</math>
 
Дефинираме '''надворешна мера на множеството E''' - ''m*(E)'' со:
: <math>m^{*}(E) = \inf_{E\subseteq \mathcal{U}} \left \{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n)\right \}</math>
 
Нека <math>E\subseteq \Bbbmathbb{R}</math> е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за <math>E</math> велиме дека е мерливо множество ако:
 
: <math>\left ( \forall A\subseteq \Bbbmathbb{R} \right ),\,\,\ m^*(A\cap E)+m^*(A\cup E^c)=m^*(A)</math>
 
Ако <math>E</math> е мерливо множество, тогаш надворешната мера на <math>E</math> се вика Лебегова мера на <math>E</math>, и пишуваме:
Најважните својства на мерата се:
 
* '''Преброива субадитивност:''' за произволна фамилија множества <math>\{E_n\}_{n\in \Bbbmathbb{N}}</math> важи:
:: <math>m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \le \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)</math>
 
:: <math>m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)</math>
 
* Ако за фамилијата множества <math>\{E_n\}_{n\in \Bbbmathbb{N}}</math> со конечна мера важи: <math>E_1\supseteq E_2\supseteq\dots\supseteq E_n\supseteq\dots</math>, тогаш:
:: <math>m\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \lim_{n\to\infty} m(E_n)</math>
 
46

уредувања