Брзиност: Разлика помеѓу преработките
| [непроверена преработка] | [непроверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Создадено преведувајќи ја страницата „Rapidity“ |
|||
Ред 15:
Брзиноста <var>w</var> произлегува од линеарната застапеност на [[Лоренцови трансформации|Лоренцовото зголемување]] како производ на вектор и матрица
:
\begin{pmatrix}
c t' \\
x'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cosh w & -\sinh w \\
-\sinh w & \cosh w
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x
\end{pmatrix}
= \mathbf \Lambda (w)
\begin{pmatrix}
ct \\
x
\end{pmatrix}</math>.
Матрицата '''Λ'''(''w'') е од типот <math /> каде <var>p</var> и <var>q</var> го задоволуваат условот <var>p</var><sup>2</sup> - <var>q</var><sup>2</sup> = 1, така што (<var>p</var>, <var>q</var>) се наоѓаат на единица хипербола. Ваквите матрици ја формираат неопределената ортогонална група О(1,1) со едно-димензионална Lie алгебра која се протега на анти-дијагонала единица матрица, покажува дека брзината е координирање на оваа Lie алгебра. Оваа акција може да биде прикажана во [[Минковскиев дијаграм|просторно-временски дијаграм]]. Во експоненцијална нотација на матрицата, '''Λ'''(''w'') може да се изрази како <math />, каде што '''Z''' е анти-дијагоналната матрица единица
:
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} . </math>
Не е тешко да се докаже дека
:<math>\mathbf{\Lambda}(w_1 + w_2) = \mathbf{\Lambda}(w_1)\mathbf{\Lambda}(w_2)</math>.
: <math />.▼
Оваа утврдува корисен собирок на брзиноста: ако A, B и C се [[Појдовен систем|рамки на повикување]], а потоа
:<math> w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}}</math>
каде ''w''<sub>
Како што можеме да видиме од Лоренцовата трансформација погоре, Лоренцовиот фактор се идентификува со cosh ''w''
:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w</math>,
така брзиноста ''w'' е имплицитно користена како хиперболичен агол во изразите од [[Лоренцови трансформации|Лоренцовата трансформација]] користејќи ги <var>γ</var> и <var>β</var>. Ако ги споредиме брзиностите со [[Равенка на сложени брзини|формулата за собирање на брзините]]
:<math>u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)</math>
со препозанвање
:<math>\beta_i = \frac{u_i}{c} = \tanh{w_i} </math>
и така
:
\begin{align}
\tanh w &= \frac{\tanh w_1 +\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2} \\
&= \tanh(w_1+ w_2)
\end{align}
Соодветното забрзување (забрзување кое 'се чувствува" од објектот кога е забрзан) е стапка на промена на брзиноста во однос на соодветно време (време како што се мери од страна на објект во процес на забрзување за себе си). Затоа, брзиноста на еден објект во дадена рамка може да се гледа како на брзината на тој објект како ќе се пресметуваат нерелативистички од инерцијално воден систем кој се наоѓа на самиот објект, ако е забрзан од остатокот на таа рамка до дадената брзина.
Ред 51 ⟶ 79:
Производ на ''β'' и ''γ'' се појавува често, и е од горенаведените аргументи
:
=== Експоненцијални и логаритамски односи ===
Од
:<math>e^{w} = \gamma(1+\beta) = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}},</math>
и така
:<math>e^{-w} = \gamma(1-\beta) = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}.</math>
или експлицитно
: <math />:<math>w = \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] = -\ln \left[\gamma(1-\beta)\right] \, . </math>
На Doppler-shift фактор поврзан со брзина ''w'' е <math>k = e^w</math>.
== Во повеќе од една просторна димензија ==
| |||