Транслација (геометрија)

Транслација на четириаголникот ABCD за вектор v (Креиран со Геогебра)

Во геометријата, транслација на една фигура за даден вектор е паралелно преместување на фигуирата така да секоја точка од фирурата се преместува за векторот. .

Основна регулатива: При транслација, фигурата не е ротирана, не е превртена, и не е растегната. Се лизга паралелно.

Пресметување на координатите на фигура по транслација

Означување

Често пати се означува транслација за вектор v со: T_v.

Формално, нека F се сите точки на една геометриска фигура, a v нека е вектор со почетна точка P=(x_p,y_p) и крајна точка Q=(x_q,y_q).

Го формираме соодветниот радиус вектор r_v на v:

${\vec {r}}_{v}=<r_{x},r_{y}>=$  каде што  $r_{x}=x_{q}-x_{p}$  и  $r_{y}=y_{q}-y_{p}$ , т.е. крајната точка на r e R=(r_x,r_y).

Тогаш:

$T_{v}(F)=F+(r_{x},r_{y})$

Пример: Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и v нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш

${\vec {r}}_{v}=<4-1,8-4>=<3,4>$  и  $F'=T_{v}(F)$ е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).

Особини на транслација

Транслација како трансформацијата ги има следните особини:

• Транслација е т.н. крута трансформација, т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се ротација и рефлекција.
• Сликата на транслација на една геометриска фигура и самата фигура се складни.
• Транслација е изометрија, т.е. по транслација сите растојанија остануваат не променати.
• По транслација, сите агли остануваат не променати.
• По транслација, ориентацијата на фигурата не е промената. На примери, доколку темињата на еден многуаголник се означувани во правецот на часовник, тогаш темињата на (сликата на) транслација остануваат во правецот на часовник.
• По транслација, паралелни прави се пак паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
• Последователни транслации е пак транслација: T_uT_v=T_u+v.
• Трансформацијата „транслација“ е комутативна, т.е. T_uT_v=T_vT_u
• Инверзна транслација на Т_v е Т_-v, т.е. Т_v+Т_-v=Т₀ (нема поместување).

Обопштување

Нека v е вектор во евклидскиот простор ℝⁿ, a r нека е соодветниот радиус вектор со крајната точка R.

• Транслација на ℝⁿ за v може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
  • На пример, за n=3, ако A=(a_x,a_y,a_z) е произволна точка, Т_v(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така да Т_v((0,0,0))=R.

Претставување на транслација со матрици

Секоја транслација T_v за вектор v може да се претстави со т.н. транслациона матрица. На пример, нека v е вектор во евклидскиот простор ℝ³, a r=<r_x,r_y,r_z> нека е соодветниот радиус вектор.

Множење на матрици секогаш ја прескликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегнува ова.

Ја формираме 4х4 транслациона матрица:

$T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{x}\\0&1&0&r_{y}\\0&0&1&r_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Потоа, за поизволна точка A=(a_x,a_y,a_z) формираме 1х4 матрица:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\1\end{bmatrix}}$

Тогаш:

$T_{\mathbf {v} }\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{x}\\0&1&0&r_{y}\\0&0&1&r_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}+r_{x}\\a_{y}+r_{y}\\a_{z}+r_{z}\\1\end{bmatrix}}$

Наводи

Поврзани теми

• Складност
• Ротација
• Рефлекција
• Изометрија

Надворешни линкови

• Стојановска, Л. (2010). „Складност“. Посетено на Септември 2013. интерактивен
• Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра наредба: Транслација“. Посетено на Септември 2013.
• Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Транслација на објект за вектор“. Посетено на Септември 2013.
• Arnold, Lance (2013). „Rigid Motion in the Plane“ (PDF) (англиски). Посетено на Септември 2013.
• Zuidema, M. (2013). „Rigid Motion in the Plane“ (англиски). GeoGebraTube. Посетено на Септември 2013. интерактивен