Формален систем: Разлика помеѓу преработките

Во [[логика|формалната логика]], '''формален систем''' (наречен и '''логички систем''' или '''логичко сметање''') се состои од [[формален јазик]] заедно со [[дедуктивен систем]] кој се состои од [[множество]] [[правило на инференција|правила на инференција]] и/или [[аксиома|аксиоми]].
Формалниот систем се користи за [[формален доказ|изведување]] на израз од еден или повеќе други изрази претходно наведени во системот.
Овие изрази се нарекуваат [[аксиома|аксиоми]] (кај оние кои однапред се земаат за вистинити), или пак [[теорема|теореми]] (кај оние кои се изведени).
Еден еден формалемннформален систем може да се формулира и изучува заради неговите сопствени својства, или пак за опишување (т.е. [[научно моделирање|моделирање]]) на надворешни појави.

Секој формален систем има [[формален јазик]], кој е составен од примитивни [[симбол]]и (знаци). Овие симболи дејствуваат врз база на извесни правила на создавање и се развиваат по инференција (заклучок) од множество [[аксиома|аксиоми]].
Затоа системот се состои од ред формули изградени по пат на конечни комбинации на примитивните симбол—комбинации кои пак се формирани од аксиомите врз база на наведените правила. <ref> Encyclopædia Britannica, [http://www.britannica.com/eb/article-9034889/formal-system Формален систем] дефиниција, 2007.</ref>

# [[Граматика]], која ни кажува како [[добро-образувана формула|добро-образуваните формули]] се составени од симболите од азбуката.
За да се реши дали формулата е добро-образувана или не треба да се има извесна процедура за решавање.

# Множество аксиоми или [[аксиоматска шема|аксиоматски шеми]]:
секој аксиом мора да претставува добро-образувана формула.

Теоретичарите го користат поимот ''формализам'' како приближен синоним за ''формален систем'' но овој поим се користи и за конкретен стил на нотација (запишување).

Во [[информатика]]та и [[лингвистика]]та, формална граматика е прецизниот опис на еден [[формален јазик]]: [[множество]] [[низа (информатика)|низи]].
Двете главни категории на формална граматика се [[генеративна граматика|генеративните граматики]], кои се множество правила за генерирање на јазичките низи, и [[аналитичка граматика|аналитичките граматики]], што претставуваат множество правила за анализирање на низите со цел да се одреди дали низата му припаѓа на јазикот.
Накратко, аналитичката граматика нè учи како да ''распознаеме'' кои низи му припаѓаат на множеството, додека генеративната граматика нè учи како да ги ''пишуваме'' само тие низи во множеството.

Формалниот доказ е ред од низи.
За низата да се смета за дел од доказот, таа може да биде [[аксиома]] или пак производ на примената на правилото на инференција врз претходни низи во редот на докази.
Последната низа од редот се нарекува [[теорема]].

Гледиштето дека математиката не е ништо повеќе од генерирање на формални докази се нарекува ''[[философија на математиката#Формализам|формализам]]''.
[[Давид Хилберт]] ја основал [[метаматематика]]та како дисциплина која има за цел да ги обработува формалните системи.
Секој јазик кој се користи за разгледување на еден формален систем се нарекува ''[[метајазик]]''.
Метајазикот може да биде само обичен природен јазик, или самиот може да биде делумно формализиран, но во секој случај тој не е толку формализиран колку формалниот јазик на формалниот систем кој се разгледува, кој пак тогаш се нарекува ''[[објектен јазик]]'', т.е. „објектот“ на дадената расправа (разгледување).

Откога ќе се постави формален систем, тогаш можеме да дефинираме множество теореми кои можат да се докажат во рамките на формалниот систем.
Ова множество се состои од сите низи кои можат да се докажат.
Така, сите аксиоми се сметаат за теореми.
За разлика од граматиката за низи, не постои гаранција дека ќе има [[решителност (логика)|процедура за решавање]] дали едннаедна низа е теорема или не.
Поимот ''теорема'' сам по себе не значи исто што и ''теореми за формалниот систем'', кои пак, за да не дојде до забуна, обично се нарекуваат [[метатеорема|метатеореми]].

''Формалното толкување'' (''интерпретација'') на еден формален систем е давање 9назначување(назначување) на значења на симболите, и вистинитосни вредности на речениците на тој формален систем.
Изучувањето на формалните толкувања се нарекува [[формална семантика]].
''Давање на толкување'' е синонимно со ''составување на [[структура (математчкаматематичка логика)|модел]].

''Толкуван формален систем'' е формален јазик за кој се дадени и [[дедуктивен систем|синтаксичките правила на дедукција]] и [[формално толкување|и семантичките правила на толкување]].
''Толкуваниот формален систем'' може да се изрази како наредениот четворократник <α,<math>\mathcal{I}</math>,<math>\mathcal{D}</math>d,<math>\mathcal{D}</math>>.

Додека, во случај на [[екстензија (семантика)|екстензивните]] метајазици, <math>\mathcal{D}</math> е односот помеѓу [[вреднување (логика)|припишаната вредност]] на речениците во јазикот, во случај на [[интензија (семантика)|интензивни]] метајазици, it ова е однос помеѓу дознаките, т.е., односот помеѓу еден израз и неговата интензија (намера); и каде <math>\mathcal{D}</math>d е односот на директната [[формален доказ|изведливост]].
Во сеопфатна смисла, овој однос се смета за таков што примитивните реченици на формалниот систем се сметаат за диреткно изведливи од празното множество реченици.
Тука се наведуваат аксиомите, некои слични на оние наведени за формалниот систем, а други пак како оние за толкуван формален јазик.
Обично сакаме <math>\mathcal{D}</math>d да ја зачувува вистинитосната вредност (т.е. секоја реченица директно изведлива од вистинита реченица е самата вистинита), меѓутоа во ваков систем може да се зачуваат и други [[модална логика|модалитети]].
За ови цели можеме да формулираме аксиома употребувајќи го поимот „вистина“.
За секое <math>\mathcal{I}</math>_i_₁,...,<math>\mathcal{I}</math>_i_{_n},