Сите коњи се со иста боја

Сите коњи се со иста боја е математички парадокс што произлегува од погрешната употреба на математичка индукција за да се докаже изјавата Сите коњи се со иста боја. Нема вистинска противречност, бидејќи овие аргументи имаат клучен недостаток што ги прави неточни. Овој пример првично го покрена George Pólya во една книга од 1954 година во : „Дали некои n броеви се еднакви?“ или "Сите n девојки имаат иста боја на очи", како вежба во математичка индукција. Исто така овој парадокс е преработен и може да се сретне како парадоксот: „Сите крави имаат иста боја“.

Верзијата на парадокс „коњи“ била претставена во 1961 година во сатиричен напис од страна на Joel E. Cohen, каде била наведен овој парадокс, што особено му овозможил на авторот да „докаже“ дека Александар Велики не постои и дека има бесконечен број на екстремитети.

Аргументот

Сите коњи се со иста боја парадокс, индукцискиот чекор не успева за n = 1

Аргументот е доказ за индукција. Прво воспоставуваме основен случај за еден коњ ( $n=1$ ) Потоа докажуваме дека ако $n$ коњите имаат иста боја, тогаш $n+1$ коњите исто така мора да имаат иста боја.

Основен случај: Еден коњ

Случајот со само еден коњ е тривијален. Ако има само еден коњ во „групата“, тогаш јасно е дека сите коњи во таа група имаат иста боја.

Индуктивен чекор

Да претпоставиме дека $n$ коњите секогаш се со иста боја. Размислете што би било за група која се состои од $n+1$ коњи.

Прво, исклучете еден коњ и погледнете го само другиот $n$ коњи; сите овие се со иста боја што произлегува од тврдењето дека $n$ коњите секогаш се со иста боја. На сличен начин, исклучете некој друг коњ (не идентичен со оној што прво се отстрани) и погледнете ги другиот $n$ коњи. Според истото размислување, и овие мора да бидат со иста боја. Затоа, првиот коњ што бил исклучен е со иста боја како и неисклучените коњи, кои пак се со иста боја како и другиот исклучен коњ. Оттука, првиот исклучен коњ, неисклучените и последниот исклучен коњ, сите се со иста боја и докажавме дека:

• Ако $n$ коњите имаат иста боја, тогаш $n+1$ коњите исто така ќе имаат иста боја.

Во основниот случај веќе видовме дека важи правилото („сите коњи имаат иста боја“) $n=1$ .. Со индуктивниот чекор подразбираме дека ако правилото важи за $n=1$, тогаш тоа мора да важи и за $n=2$, што пак имплицира дека правилото би важело и за $n=3$ и така натаму.

Така, во која било група коњи, сите коњи мора да бидат со иста боја.

Објаснување

Аргументот погоре ја прави имплицитната претпоставка дека множеството на $n+1$ коњите имаат големина најмалку 3, така што двете подмножества на коњи на кои се применува индукциската претпоставка имаат заеднички елемент. Ова не е точно на првиот чекор на индукција, т.е. кога $n+1=2$ .

Нека двата коња бидат коњ А и коњ Б. Кога коњот А ќе се тргне, вистина е дека преостанатите коњи во собата се со иста боја (останува само коњот Б). Истото важи и кога коњот Б е отстранет. Сепак, изјавата „првиот коњ во групата е со иста боја како и коњите во средина“ е бесмислена, бидејќи нема „коњи во средината“ (заеднички елементи (коњи) во двата сета). Доказот формира лажен парадокс ; се чини дека со валидно расудување се покажува нешто што е очигледно лажно, но всушност резонирањето е со недостатоци. Односно парадоксот произлегува од тоа што имаме лажна основа од која го започнуваме да го градиме случајот.