Непристрасна оцена

Непристрасна оцена

Оцената на непознатиот параметар на популацијата, Θ,претставува неговата статистика Θ. Тоа, всушност, е случајна променлива која ќе зема различни вредности за различни примероци од иста популација.Таа статистика ќе има своја очекувана вредност,а тоа ќе биде онаа вредност на статистиката која претставува параметар на нејзината централна тенденција. Во таа смисла,треба да биде исполнет условот :

 E(Θ) = Θ

т.е. очекуваната вредност на оценката Θ да е еднаква на параметарот Θ.

Ако очекуваната вредност на оцената Θ = f(x₁,x₂,......,x_n) на непознатиот параметар на масата Θ е еднаква на тој параметар Θ,тогаш таа оцена се нарекува непристрасна оцена т.е. кога Е(Θ) = Θ.

Во случај кога Е(θ) > θ, тогаш таа оцена е позитивно пристрасна и ако Е(Θ) < Θ, тогаш таа оцена е негативно пристрасна.

Од досегашните емпириски истражувања потврдена е претпоставката дека аритметичката средина на примерокот (или примероците) е еднаква на аритметичката средина на основната маса:

 _
 E(x) = M

и оттука следи заклучокот дека x е непристрасна оцена на параметарот М. Ако во секој прост случаен примерок ја пресметаме медијаната (Ме), а потоа формираме распоред на медијаните на примероците и ја пресметаме очекуваната вредност на овој распоред, ќе ја добиеме еднаквоста

 Е(Ме) = М

Тоа значи дека и медијаната на примерокот е непристрасна оценка на аритметичката средина на популацијата. Исто така, може да се постави еднаквоста дека

 Е(р) = Р

што значи дека пропорцијата на примерокот е непристрасна оцена на пропорцијата на основната маса.

За разлика од наведените оцени,варијансата на примерокот,ако ја пресметуваме според формулата:

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}$

варијанса на примерок

не би го задоволила критериумот на непристрасна оценка.Поради тоа варијансите на голем број на примероци со големина n, се помали од варијансата на основната маса, s² (варијанса на примерок).Бидејќи s²≠S² (S² = варијанса на популација), варијансата s² е пристрасна оцена на варијансата S². Во исто време, бидејќи E(s²) < S² велиме дека s² ја потценува вредноста на варијансата на основната маса. Ова особено доаѓа до израз кога оценувањето го правиме врз основа на мали примероци (n≤30).

Меѓутоа,ако ја користиме следната формула:

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}$

сума на квадратни отстапувања/(n-1)

т.е. ако сумата на квадратните отстапувања ги поделиме со n-1 наместо со n,тогаш варијансите на примерокот се зголемуваат и пристрасноста се губи што значи дека се исполнува еднаквоста дека

 E(s²) = S²

Така, варијансата на примерокот станува непристрасна оцена на варијансата на основната маса.

Користена литература

"Статистика за бизниз и економија" - Д-р Славе Ристевски, Д-р Драган Тевдовски, четврто издание