Гринова теорема

Во математиката, Гриновата теорема го дава односот меѓу криволинискиот интеграл околу проста затворена крива C и двојниот интеграл над областа D ограничена со C. Тоа е специјален дводимензионален случај на поопштата Стоксова теорема, а името го добила по британскиот научник Џорџ Грин.

Нека C е позитивно ориентирана, дел по дел регуларна, проста затворена крива во рамнина и нека Dе област ограничена со кривата C. Ако L и M имаат непрекинати парцијални изводи на отворената област која го содржи D, тогаш

\int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA

при што интегрирањето оди спротивно од стрелките на часовникот. Понекогаш се црта крукче на симболот за интеграл ( $\oint _{C}$ ) за да се означи дека кривата C е затворена. За позитивна ориентација, на ова крукче може да се нацрта стрелка во спротивна насока од стрелките на часовникот.

Доказ кога D е проста област

Ако D е проста област чии граници се состојат од кривите C₁, C₂, C₃, C₄, може да се демонстрира Гриновата теорема.

Следи доказ на теоремата за поедноставена област D, област тип I каде C₂ и C₄ се вертикални линии. Сличен доказ постои кога D е област тип II, каде C₁ и C₃ се хоризонтални линии.

Ако може да се покаже дека исказите

\int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}

и

\int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}

се точни, тогаш може да се докаже Гриновата теорем во првиот случај.

Област тип I, D на сликата десно, дефинирана со:

D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}

каде g₁}- и -{g₂ се непрекинати функци. Нека се пресмета двојниот интегра од (1):

$\iint _{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	$=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]$
	$=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{2}(x)]-L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)}$

C може да се запише како унија на четири криви: C₁, C₂, C₃, C₄.

Кај C₁, се користат параметарските равенки: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Тогаш

\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}{\Big \{}L[x,g_{1}(x)]{\Big \}}\,dx

Кај C₃, се користат параметерските равенки: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Тогаш

\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx

Интегралот над C₃ се негира, бидејќи оди во негативна наоска од b до a, бидејќи C е позитивно ориентирана (во насока спротивна од стрелките на часовникот). На C₂ и C₄, -{x}- останува константно, што значи дека

\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0

Затоа,

$\int _{C}L\,dx$	$=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx$
	$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)}$

Со комбинирање на (3) се (4), се добива (1). На сличан начин се добива и (2).

Гринова теорема

Доказ кога D е проста област

Поврзано

Надворешни врски