Исклучителна дисјункција

Исклучителна дисјункција (наречена и исклучително или — логичка операција на два операнда која резултира со логичка вредност на точно ако и само ако еден од опрандите, но не и двата, имаат вредност точно. Се симболизира и со претставниот поератор J i со вметочните оператори ИСКИЛИ (меѓународно: XOR или „ЕКСИЛИ“, EOR, EXOR) и ⊻, ⊕, ↮ и ≢ . Спротивен на ИСКИЛИ е логичкиот двоуслов, кој дава вистинитост (точно) секогаш кога обата елементи се исти.

Дефиниција

Кај многу природни јазици (вклучувајќи го македонскиот), толкувањето на поимот „или“ бара извесна доза на внимателност. Исклучителната дисјункција на два исказа, (p, q), значи дека p е точно или q е точно, но не и двете. На пример, нормалната намера на исказите од типот на „Ќе ги почитуваш правилата или ќе бидеш дисквалификуван“ е да се утврди дека точно само еден од условите може да биде вистинит. Меѓутоа во логиката, значењето на зборот „или“ под основно е вклучителна дисјункција, која значи дека најмалку една од алтернативите е вистинита (точна). латинскиот, јазик како и некои други имаат различни зборови за различните значења на ова „или“.

Исклучителната дисјункција е операција на две логички вредности, искази, кои даваат вредонст вистина (точно) ако и само ако еден, но не и двата операнда се вистинити.

Таблицата на вистинитост за p ИСКСИЛИ q е следнава:

**Таблица на вистинитост: Исклучителна дисјункција**
p	q	p ИСКСИЛИ q
⊥	⊥	⊥
⊥	т	т
т	⊥	т
т	т	⊥

Следниве еквиваленти можат да бидат изведени:

{\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\\\&=&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)\\\\&=&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)\end{matrix}}

Алтернативни знаци

Знакот за исклучителна дисјункција варира во зависност на неговата употреба, па дури и зависи од својствата кои се нагласуваат во даден котекст или дискусија. Покрај кратенката „ИСКСИЛИ“, можеме да ги видиме и следниве знаци:

Знак плус (+). Ова е математички издржано заради тоа што исклучителната дисјункција соодветствува на собирање модул 2, која ја има следнава таблица на собирање, која е воочливо изоморфична со онаа погоре:

**Операциона таблица: Износ на модулот 2**
p	q	p + q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Уппотребата на знакот плус ја има додатната предност во тоа што сите обични алгебарски својства или прстени и полиња можат да се користат без додатни потешкотии.
Знакот плус, кој е изменет на некој начин, како на пример со заокружување (⊕}. Меѓутоа употребата на овој знак е дискутабилна заради тоа што истиот се поклопува со математичкиот знак за директен износ на алгебарски структури.
Знак за вклучителна дисјункција (∨) кој е изменет на некој начин, како со потцртување (∨).
Знакот .

Еквивалентни изразувања

Исклучителната дисјункција $p+q\!$ може да се изрази како конјункција (∧), дисјункција (∨), и негација (¬) вака:

{\begin{matrix}p+q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}

Исклучителната дисјункција $p+q\!$ може исто така што се изрази на следниов начин:

{\begin{matrix}p+q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}

Оваа претстава на ИСКСИЛИ може да биде корисна за правење на коло или мрежа, бидејќи има само една ¬ операција и мал број на ∧ и ∨ операции. Доказот на овој идентитет е даден подолу:

{\begin{matrix}p+q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot q)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}

Понекогаш тоа се користи за пишување на p ИСКСИЛИ q на следниов начин:

{\begin{matrix}p+q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}

Ова еквиваленција може да се воспостави со примена на Де Моргановите закони двапати на четвртата линија на доказот погоре.

Асоцијативност и комутативност

Со оглед на изоморфизмот момеѓу собирањето модула 2 и исклучителната дисјункција, јасно е дека ИСКСИЛИ е и асоцијативна и комутативна операција. Затоа заградите можат да се испуштат во последователните операции и редот на поимите не му прави никаква разлика на резултатот. На пример, еве равенки:

{\begin{matrix}p+q&=&q+p\\\\(p+q)+r&=&p+(q+r)&=&p+q+r\end{matrix}}

Својства

Овој оддел ги користи следниве знаци:

{\begin{matrix}0&=&{\mbox{false}}\\1&=&{\mbox{true}}\\\lnot p&=&{\mbox{not}}\ p\\p+q&=&p\ {\mbox{xor}}\ q\\p\land q&=&p\ {\mbox{and}}\ q\\p\lor q&=&p\ {\mbox{or}}\ q\end{matrix}}

Следниве равенки следат од логички аксиоми:

{\begin{matrix}p+0&=&p\\p+1&=&\lnot p\\p+p&=&0\\p+\lnot p&=&1\\\\p+q&=&q+p\\p+q+p&=&q\\p+(q+r)&=&(p+q)+r\\p+q&=&\lnot p+\lnot q\\\lnot (p+q)&=&\lnot p+q&=&p+\lnot q\\\\p+(\lnot p\land q)&=&p\lor q\\p+(p\land \lnot q)&=&p\land q\\p+(p\lor q)&=&\lnot p\land q\\\lnot p+(p\lor \lnot q)&=&p\lor q\\p\land (p+\lnot q)&=&p\land q\\p\lor (p+q)&=&p\lor q\end{matrix}}

Битова операција

Исклучителните дисјункции често се користат кај битовите операции. Примери:

1 ИСКСИЛИ 1 = 0
1 ИСКСИЛИ 0 = 1
1110 ИСКСИЛИ 1001 = 0111 (ова е исто што и собирање без пренос)