Директен доказ

Во математиката и логиката, директен доказ е начин на докажување дека дадено тврдење е вистинито, или пак дека е невистинито и тоа преку непосредно комбинирање на востановени факти, обично претходно докажани леми и теореми, или пак аксиоми, без какви било дополнителни претпоставки. За директно докажување на тврдење во форма на импликација "Ако p, тогаш q", неопходно е единствено да се претпостави дека е исполнет условот, односно претпоставката p. За да се стигне од претпоставката до заклучокот се користат формалните правила за изведување на заклучоци (расудување). Скоро секогаш се користи таканаречената логика од прв ред, односно предикатна логика, со вклучување на кванторите за секој и постои. Правилата за изведување на заклучоци се модус поненс и хипотетички силогизам.

Обратно, индиректен доказ може да почнува со различни погодни хипотетички сценарија и потоа продолжува со елиминирање на неодреденостите во секое од тие сценарија сè додека не се стигне до неизбежен заклучок дека тврдењето што се докажува мора да е вистинито. На пример, наместо да се докажува директно импликацијата p → q, може да се докаже контрапозицијата ~q → ~p (се претпоставува дека е исполнето ~q и се покажува дека тоа води до заклучок дека мора да е исполнето ~p). Бидејќи p → q и ~q → ~p се еквивалентни според принципот на транспонирање, всушност докажано е p → q. Методите на докажување кои не се директни вклучуваат доказ преку контрадикција. Директните методи на докажување вклучуваат доказ преку претресување на сите случаи, доказ преку бесконечно спуштање и доказ преку индукција.

Пример

Збирот на два парни цели броеви е парен цел број

Следи едноставен, директен доказ дека збирот на два парни цели броеви е парен цел број.

Нека $x$ и $y$ се произволни парни цели броеви. Од нивната парност следува дека постојат цели броеви $a$ и $b$, така што $x=2a$ и $y=2b$. Тогаш, за збирот се добива: $x+y=2a+2b=2(a+b)$. Следува дека $x+y$ е делив со 2, па значи е парен. Од произволноста на $x$ и $y$ следува дека збирот на секои парни цели броеви е парен цел број.

Питагорина теорема

Дијаграм на Питагорината теорема

Забележете дека имаме четири правоаголни триаголници и квадрат спакувани во поголем квадрат. Секој од триаголниците има страни a и b и хипотенуза c. Површината на квадрат се определува како квадрат на должината на неговите страни. Во овој случај, површината на големиот квадрат е (a + b)². Површината на големиот квадрат може да се изрази и како збир на површините на неговите составни делови. Во овој случај, тоа би било збирот на плоштините на четирите триаголници и малиот квадрат во средината.

Знаеме дека површината на големиот квадрат е еднаква на (a + b)².

Плоштината на правоаголен триаголник е еднаква на ${\frac {1}{2}}ab.$

Знаеме дека плоштината на големиот квадрат е исто така еднаква на збирот на плоштините на триаголниците, плус плоштината на малиот квадрат, а со тоа плоштината на големиот квадрат е еднаква < math > 4( \frac 12 ab) + c^2.</math>

Овие се еднакви, па

$(a+b)^{2}=4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.$

По поедноставување се добива,

$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}.$

Отстранувањето на 2ab што се појавува на двете страни дава

$a^{2}+b^{2}=c^{2},$

со што е докажана Питагорината теорема.