Делумна корелација

Делумната корелација („парцијална корелација“) го покажува степенот на праволиниското слагање на варијации на зависната променлива и едната независна променлива, при што влијанието на другата независна променлива е исклучено.

Формална дефиниција

Формално, делумната корелација помеѓу Х и Y за дадена група на n контролни променливи Z={Z1,Z2,…Zn}, запишано ρXY•Z, е корелација помеѓу резидуалите RX и RY кои произлегуваат од линеарната регресија од X со Z и од Y со Z,соодветно. Всушност, корелацијата од прв ред (кога n=1) е ништо друго туку разлика помеѓу корелација и производот од преносливите корелации поделени со производот од коефициентите на отуѓување на преносливите корелации.Коефициентот на отуѓување, и неговата врска со заедничката варијанса преку корелацијата се достапни во Гилфорд(1973, стр.344-345).

Пресметка

Со користење на линеарна регресија

Едноставен начин да се пресмета делумната корелација за одредени податоци е да се решат проблемите со две поврзани линеарни регресии, да се најдат резидуалите, и да се пресмета корелација помеѓу нив.Ако запишеме xi, yi и zi примероци од одредени заеднички веројатности претставени преку X, Y и Z, решавањето на проблемот со линеарната регресија се сведува на пронаоѓање на n-димензиони вектори

$\mathbf {w} _{X}^{*}=\arg \min _{\mathbf {w} }\left\{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\langle \mathbf {w} ,\mathbf {z} _{i}\rangle )^{2}\right\}$

$\mathbf {w} _{Y}^{*}=\arg \min _{\mathbf {w} }\left\{\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-\langle \mathbf {w} ,\mathbf {z} _{i}\rangle )^{2}\right\}$

со тоа што N ќе биде бројот на примероци на скаларниот производ помеѓу векторите v и w. Имајте на ум дека во некои имплементации регресијата вклучува константни термини така што матрицата ќе има дополнителна колона од нив.
Тогаш резидуалите се:

$r_{X,i}=x_{i}-\langle \mathbf {w} _{X}^{*},\mathbf {z} _{i}\rangle$

$r_{Y,i}=y_{i}-\langle \mathbf {w} _{Y}^{*},\mathbf {z} _{i}\rangle$

И примерокот за делумна корелација е

${\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {N\sum _{i=1}^{N}r_{X,i}r_{Y,i}-\sum _{i=1}^{N}r_{X,i}\sum _{i=1}^{N}r_{Y,i}}{{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}r_{X,i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}r_{X,i}\right)^{2}}}~{\sqrt {N\sum _{i=1}^{N}r_{Y,i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{N}r_{Y,i}\right)^{2}}}}}.$

Со користење на рекурзивна формула:
Може да биде пресметковно скапо да се решат проблемите со линеарна регресија. Всушност,n-тиот дел од делумната корелација(со |Z| = n) може лесно да се пресмета од третиот (n - 1) дел на делумната корелација. Нултиот дел од делумната корелација ρXY•Ø е дефиниран да биде редовен коефициент на корелација ρXY.
Таа го зафаќа ,за секој $Z0=Z$:

$\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}}}.$

Наивно спроведување на оваа пресметка, како рекурзивен алгоритам дава време за експоненцијална комплексност. Како и да е, оваа пресметка има проблеми со преклопување, како што се користење на динамично програмирање или едноставно кеширање на резултатите од рекурзивните повици на приносите на комплексноста$O(n^{3})$.
Имајте на ум во случај кога Z е една променлива, ова се сведува на:

$\rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}}.$

Со користење на матрична инверзија

Во $O(n^{3})$ , друг пристап којшто овозможува сите делумни корелации да бидат пресметани помеѓу било кои две променливи Xi и Xj во збир од V од кардиналните n, со оглед на сите останати $V{\begin{Bmatrix}Xi,Xj\end{Bmatrix}}$ ,ако корелационата матрица (или алтернативната коваријансна матрица) Ω = (ωij),каде што ωij = ρXiXj,е инверзна. Ако го дефинираме P = Ω−1, ќе добиеме:

$\rho _{X_{i}X_{j}\cdot \mathbf {V} \setminus \{X_{i},X_{j}\}}=-{\frac {p_{ij}}{\sqrt {p_{ii}p_{jj}}}}.$

Интерпретација

Геометриска

Нека три променливи X, Y, Z (каде x e независна променлива, y e зависна променлива, и z e контролната или екстра променлива) бидат избрани од заедничка дистрибутивна веројатност преку n променливи V.Понатаму нека, vi, 1 ≤ i ≤ N биде N , n-димензионални примероци преземени од заедничката дистрибутивна веројатност преку V.Потоа ги вклучуваме N-димензионалните вектори x(формиранo од страна на последователните вредности на X преку примероците), y( формиранo преку вредностите на Y) и z(формирано преку вредностите на Z). Може да се согледа дека резидуалите RX кои произлегуваат од линеарната регресија на X користејќи го Z, ако биде разгледуван како N-димензионален вектор $r_{x}$, којшто има нула скаларен производ со векторот z генериран од Z.
Истото се однесува на резидуалите RY генерирајќи го векторот $r_{y}$. Посакуваната делумна корелација е косинусна функција од аголот φ помеѓу проекциите rX и rY од x и y, соодветно, кон хипер рамнината и нормално кон z.

Како условен тест на независност

Со претпоставката дека сите вклучени променливи се многуваријантни Гаусивни, делумната корелација ρXY•Z е нула ако и само ако X e условно независна од Y за даденo Z. Ова својство не се користи за во општ случај. За да се тестира дали примерокот за делумна корелација исчезнува ја користиме Фишеровата Z-трансформација за делумна корелација:

$z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}{1-{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}}\right).$

Нулта хипотеза е $H_{0}:{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }=0$ , и е тестирана наспроти двостраната алтернативна хипотеза $H_{A}:{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }\neq 0$. Ја одбиваме нулта хипотеза H₀ со ниво на значајност α ако:

${\sqrt {N-|\mathbf {Z} |-3}}\cdot |z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })|>\Phi ^{-1}(1-\alpha /2),$

Каде што Φ(•) е кумулативно дистрибутивна функција на Гаусовата распределба со средна вредност нула и стандардно отстапување еден, и N како големина на примерокот.Забележете дека оваа Z-трансформација е приближна и дека вистинската распределба на коефициент на корелација кај примерокот(делумен) не е јасна. Сепак точниот t-тест е заснован врз основа на комбинација од коефициентот на делумната регресија, делумниот коефициент на корелација и делумните разлики кои се на располагање. Распределбата на примерокот со делумна корелација бил опишан од страна на Фишер.

Полуделумна корелација (дел корелација)

Полуделумната корелација е слична на статистика на делумната корелација. Двете мерки на варијанса по одредени фактори се контролирани за, но за да се пресмета полуделумната корелација има трета променлива константа или за X или за Y, додека за делумната корелација има трета променлива и за двете. Полуделумната корелација мери единствена и заедничка варијанса додека делумната корелација мери единствена варијанса. Полуделумната корелација може да се гледа како попрактична и релевантна, бидејќи таа е прилагодена со (т.е во однос на) вкупниот варијабилитет на зависната променлива. Спротивно на тоа, таа е помалку теоретски корисна, бидејќи таа е помалку прецизна за уникатниот придонес на независната променлива. Иако тоа може да изгледа парадоксално, полуделумната корелација од X со Y е секогаш помала или еднаква на делумната корелација од X со Y.

Употреба во анализа на временските низи

Во анализата на временските низи, функцијата на делумната автокорелација (понекогаш функција на делумната корелација) на временски редови е дефинирана,за заостанат h, како

$\phi (h)=\rho _{X_{0}X_{h}\cdot \{X_{1},\dots ,X_{h-1}\}}.$