Геометриска оптика

Геометриската оптика, или зрачната оптика, го опишува просветлувањето на светлината во однос на зраците. Зракот во геометриската оптика е апстракција корисна за приближување на патеките по кои светлината се шири под одредени околности.

Поедноставните претпоставки на геометриската оптика вклучуваат светлосни зраци:

• Тие патуваат во прави линии кога патуваат во хомогена средина
•  се виткаат, а во одредени околности може да се поделат на два, (на интерфејсот помеѓу два различни средини). 
• следат закривени патеки во средини во кој се менува показателот на прекршување 
• можат да се апсорбираат или да се рефлектираат. 

Геометриската оптика не одговара на одредени оптички ефекти како дифракција и пречки. Ова поедноставување е корисно во пракса; тоа е одлично приближување кога брановата должина е мала во споредба со големината на структурите со кои светлината има интеракција. Техниките се особено корисни во опишувањето на геометриските аспекти на сликањето, вклучувајќи ги и оптичките аберации.

Објаснување

Како светлината патува низ вселената, таа осцилира во амплитудата. Во оваа слика, секоја максимална амплитуда на сртот е означена со авион за да се илустрира на wavefront. Зракот е на стрелката нормална на овие паралелни површини.

Светлински зрак е линија или крива која е нормална на светлината на брановата предница (и затоа е колинеарна со бранов вектор).

Малку повеќе ригорозна дефиниција на светлинскиот зрак следи од Fermat-овиот принцип, во кој се наведува дека патеката помеѓу две точки со зракот на светлината, е патот кој може да се поминува во најмалку време.

Геометриската оптика често се поедноставува со изработка на параксијално приближување познато како "приближување на мал агол". Математичкото однесување потоа станува линеарно, дозволувајќи им на оптичките компоненти и системи да бидат опишани со едноставни матрици. Ова води кон техники на гаусова оптика и трасирање на параксијални зраци, кои се користат за пронаоѓање на основните својства на оптичките системи, како што се приближни ставки на слики, предмети и зголемувања.

Рефлексија

Дијаграм на спектрална рефлексија

Сјајни површини како што се огледала ја рефлектираат светлината на едноставен, предвидлив начин. Ова овозможува производство на рефлектирани слики кои можат да бидат поврзани со вистинска (реална) или екстраполирана (виртуелна) локација во вселената.

Со таквите површини, насоката на рефлектираниот зрак се одредува според аголот на инцидентот кој го прави со површината нормален.Инцидентот и рефлектираните зраци лежат во една рамнина, а аголот помеѓу рефлектираниот зрак и нормалната површина е ист како оној помеѓу инцидентот и нормалата. Ова е познато како Закон за рефлексија.

За рамни ретровизори, законот за рефлексија подразбира дека сликите на предметите се исправени и на исто растојание зад огледалото, бидејќи предметите се пред огледалото. Големината на сликата е иста како и големината на објектот. (Зголемувањето на рамен огледало е еднакво на еден.) Законот исто така имплицира дека огледалните слики се превртени со паритет, што се перцепира како инверзија од лево-десно.

Огледалата со заоблени површини може да се моделираат со следење на зраците и со користење на законот за рефлексија во секоја точка на површината. За огледала со параболични површини, паралелните инциденти на зраците на огледалото создаваат рефлектирани зраци кои се спојуваат со заеднички фокус. Други кривини површини, исто така, може да се фокусираат на светлината, но со аберации поради различната форма која предизвикува фокусирање да биде размачкано во вселената. Особено, сферичните огледала покажуваат сферична аберација. Закривените огледала може да формираат слики со зголемување поголемо или помало од едно, а сликата може да биде исправена или превртена. Практичната слика формирана со рефлексија во огледало е секогаш виртуелна, додека превртената слика е реална и може да се проектира на екранот.

Прекршување

Илустрација на Snell е Закон

Прекршување се случува кога светлината патува низ површина од простор што има променлив показател на прекршување. Наједноставниот случај на прекршување се јавува кога постои интерфејс помеѓу еднакова средина со показател на прекршување "n1" и друга средина со показател на прекршување "n2" . Во такви ситуации, Законот на Снел го опишува како резултат на девијација на светлината.

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\$

каде $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$ се агли помеѓу нормалата (до интерфејсот) и инцидентот и прекршени бранови, соодветно. Овој феномен е исто така се поврзани со промена на брзината на светлината како што се гледа од дефиницијата на показателот на прекршување кои се предвидени погоре, што подразбира:

$v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}$

каде $v_{1}$ и $v_{2}$ се браноновите брзини низ соодветните средини.

Различни последици на Snell-овиот закон вклучуваат фактот дека за светлосните зраци кои патуваат од материјал со висок показател на прекршување да материјал со низок показател на прекршување, тоа е можно за интеракција со интерфејсот за да се резултат во нула пренос. Овој феномен се нарекува вкупна внатрешна рефлексија и овозможува технологија со оптички влакна . Како светлосни сигнали патуваат надолу низ оптичките влакна (кабел), тие се подложуваат на вкупната внатрешна рефлексија што во суштина нема светлина изгубена во текот на должината на кабелот. Исто така е можно да се произведе поларизирана светлина со користење на комбинација на рефлексија и прекршување: Кога рефректираниот зрак и рефлектираниот зраак формираат прав агол, рефлектираните зраци се во сопственост на "авион поларизација". Упадниот агол потребен за такво сценарио е познат како Брустеров агол.

Законот на Снел може да се користи за да се предвиди девијации на светлосните зраци како што минуваат низ "линеарни медиумите" онолку долго колку што показатели на прекршувањето и геометријата на средините се познати. На пример, ширење на светлината низ призмата резултати во светлинските зраци се одбиени во зависност од обликот и ориентација на призма. Дополнително, бидејќи различни честоти на светлината имаат малку различни показатели на прекршување во повеќето материјали, прекршување може да се користи за да се произведе дисперзија на спектри што се појавуваат кај виножитата. Откривањето на овој феномен при донесувањето на светлината низ призмата , фамозно му се припишува на Исак Њутн.

Некои средини имаат показател на прекршување кој варира постепено со позиција и, на тој начин, светлосни зраци криват, наместо да патуваат во прави линии. Овој ефект е одговорен замираж. Тој се гледа на топли денови каде промена на показателот на прекршување на воздухот предизвикува светлосни зраци да се наведнуваат создавајќи спектарни рефлекции во далечниата . Материјал кој има различен показател на прекршување се нарекува (грин-индекс) материјал и има многу корисни својства кои се користат во модерната оптичко скенирање технологии, вклучувајќи фотокопир машини и скенери. Феноменот се изучува во областа на грин оптика.

Зраковно следење на дијаграм за едноставна конвергенција на леќа.

Уред кој произведува конвергенција или разлики  на светлосни зраци поради прекршување е познат како леќа. Тенките леќи произведуваат фокусни точки на секоја страна која може да се моделираат со помош на Ленсовата равенката. Во принцип, два типови на леќи постојат: конвексен леќи, кои предизвикуваат паралелно светлосните зраци да се спојуваат, и конкавни леќи, кои предизвикуваат паралелните светлосни зраци да се разликуваат. На деталната прогноза за тоа како сликите се произведени од страна на овие леќи може да се направи со користење на зраковно-следење, слични на криви огледала. Слично на криви огледала, тенките леќи следат едноставна равенка што ја одредува локацијата на слики дадена одредена фокусна должина (${\displaystyle }$) и објект растојание (${\displaystyle }$):

${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}$

каде ${\displaystyle }$ е растојанието поврзано со ликот и се смета од страна на конвенцијата да биде негативен ако на истата страна на објективот, како и објектот е позитивен, доколку е на спротивната страна на објективот. Фокусна должина f се смета за негативна конкавна леќа.

Дојдовни паралелно зраци се фокусирани со искривено леќа во превртен вистинска слика на еден фокусна должина од објективот, на далечната страна на објективот.

Дојдовни паралелно зраци се фокусирани со искривено леќа во превртен вистинска слика на еден фокусна должина од објективот, на далечната страна на објективот

Зраците од објектот на конечното растојание се фокусирани подалеку од објективот од фокусна далечина; што поблиску е објектот до леќата, подалеку е сликата од леќата. Со конкавна леќи, дојдовни паралелни зраци се разликуваат по минува низ призмата, во таков начин што тие се чини дека се настанати во исправена виртуелната слика на еден фокусна должина од објективот, на истата страна на објективот каде паралелните зраци се приближуваат.

Со конкавна леќи, дојдовни паралелни зраци се разликуваат по минува низ призмата, во таков начин што тие се чини дека се настанати во исправена виртуелната слика на еден фокусна должина од објективот, на истата страна на објективот каде паралелните зраци се приближуваат.

Зраците од објектот на конечно растојание се поврзани со виртуелна слика која е поблиску до објективот од фокусна должина, како и на истата страна на објективот како објект. Што поблиску е објектот до леќата, толку поблиску е виртуелна слика  на објективот.

Зраците од објектот на конечно растојание се поврзани со виртуелна слика која е поблиску до објективот од фокусна должина, како и на истата страна на објективот како објект.

Исто така, зголемување на леќа е дадена со

$M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}$

каде негативниот знак е даден, од конвенцијата, за да се покаже исправена објект за позитивни вредности и превртена објект за негативни вредности. Слично на ретровизори, исправен слики произведени од страна на еден леќи се виртуелни додека превртена слики се реални.

Леќи страдаат од аберации со изобличува слики и фокусни точки. Ова се должи и на геометриска несовршености и поради промена на показателот на прекршување за различни бранови должини на светлината (хроматска аберација).

Основната математика

Како математички студии, геометриска оптика јавува како кратокбранова должина граница за решенија за хиперболичен парцијални диференцијални равенки. Во овој краток-бранов должен рок, можно е да се приближна на решение на локално ниво од страна на

$u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}$

каде $k,\omega$ задоволи од диссперзија на однос, и на амплитудата $a(t,x)$ се движи бавно. Поточно, водечка цел на решение добива облик

$a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.$

Фаза $\varphi (t,x)/\varepsilon$ може да се линеаризира и да се опорави големи бранови бројки $k:=\nabla _{x}\varphi$ и честота $\omega :=-\partial _{t}\varphi$. Амплитудата $a_{0}$ задоволува една транспортна равенка. Мал параметар $\varepsilon \,$ влегува на сцената поради високите осцилаторни почетни услови. На тој начин, кога почетните услови осцилираат многу побрзо отколку коефициенти на диференцијална равенка, решенија ќе бидат високо осцилаторни, и да се транспортираат заедно зраци. Под претпоставка дека коефициенти во диференцијалната равенка се мазни, зраци ќе биде премногу. Со други зборови, прекршување не се случува. Мотивацијата за оваа техника доаѓа од проучувањето на типичен сценарио на светлината размножување каде кратка бранова должина на светлината патува заедно со зраците кои се минимизираат (повеќе или помалку)на неговото времето на патување. Негова целосна примена бара алатки од microlocal анализа.

Зомерфелд-Рунгеов метод

Начинот на добивање равенки на геометриска оптика со преземање на граница на нула бранова должина прв го опиша, Арнолд Sommerfeld и Ј Runge во 1911 година. Нивните деривација беше врз основа на усна забелешка од страна на Петар Debye. Се разгледа monochromatic scalar поле ${\displaystyle }$, каде ${\displaystyle }$ може да биде кој било од компонентите на електричното или магнетното поле и оттука функција ${\displaystyle }$ ги задоволуваат равенката на бран

$\nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )\phi =0$

каде $k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}$ со $c$ како брзината на светлината во вакуум. Тука, $n(\mathbf {r} )$ е показател на прекршување на медиумот. Без губење на generality, дозволете ни да воведе $\phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}$ да се претвори равенката во

$-k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.$

Од принцип на геометриска оптика, лежи во ограничување $\lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0$ следните асимптотско серија се претпоставува,

$A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}$

За големи, но конечни вредности на ${\displaystyle }$серијата се разликува, и мора да се биде внимателен во одржување на само  првите неколку услови. За секоја вредност на ${\displaystyle }$, може да се најде оптимален број на услови да се чуваат и додавање на повеќе услови од оптимален број може да резултира во помало апроксимација. Со замена на серија во равенката и собирање однос на различни наредби, може да се најде

${\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}$

во принцип,

$O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.$

Првата равенка е познат како eikonal равенка, која ја одредува eikonal ${\displaystyle }$ е Хамилтон-Јакобиева равенка, напишани на пример во Декартови координати станува

$\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.$

Останатите равенки се утврди функции $A_{m}(\mathbf {r} )$.

Општата равенка користејќи четири-вектор нотација

Во четвртиот вектор за запишување кои се кориси во посебни релативности, бранова равенка може да се запише како

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0$

и замена $\psi =Ae^{iS/\epsilon }$ доведува до

$-{\frac {A}{\epsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\epsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\epsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.$

${\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.$

Откако eikonal е утврдено со решавање на равенката погоре, бран четири-вектор може да се најде од

$k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.$

Поврзано

• Хамилтонова оптика

Дополнителна литература

• Роберт Алфред Херман (1900) На Расправа на Геометриска оптика од Archive.org.
• "Светлина на Очите и Просветлен Пејзаж на Визија" е ракопис, на арапски, за геометриска оптика, кои датираат од 16 век.
• Теорија на Системи од сончеви Зраци - W. R. Хамилтон во Трансакции на Кралската Ирски Академија, Vol. XV, 1828.

Англиски преводи на некои стари книги и трудови

• H. Bruns, "Das Eikonal"
• M. Malus, "Optique"
• J. Plucker, "Discussion of the general form for light waves"
• E. Kummer, "General theory of rectilinear ray systems"
• E. Kummer, presentation on optically-realizable rectilinear ray systems
• R. Meibauer, "Theory of rectilinear systems of light rays"
• M. Pasch, "On the focal surfaces of ray systems and the singularity surfaces of complexes"
• A. Levistal, "Research in geometrical optics"
• F. Klein, "On the Bruns eikonal"
• R. Dontot, "On integral invariants and some points of geometrical optics"
• T. de Donder, "On the integral invariants of optics"

Надворешни врски

• Основи на Photonics - Модул за Основен Геометриска Оптика Архивирано на 17 септември 2012 г.
• Feynman е предавање на Геометриска Оптика