Гаусов закон

Гаусов закон (Гаусова токовна теорема) — закон поврзан со распределбата на електричен набој во резултантното електрично поле. Површината која се разгледува може да опфаќа определена зафатнина како на пример површина на топка.

Законот првично^[1] бил опишан Жозеф-Луј Лагранж во 1773 година,^[2] на истиот продолжил да работи Карл Фридрих Гаус во 1813 година,^[3] за да го објаснат привлекувањето на елипсоидите. Станува збор за една од четирите Максвелови равенки, кои се основата на класичната електродинамика.^{[note 1]} Гаусовиот закон може да се искористи за да се изведе Кулоновиот закон,^[4] и обратно.

Квантитативен опис

Со зборови Гаусовиот закон гласи:

Вкупниот електричен ток низ која и да е затворена површина е еднаков на

1 ε

пати од вкупниот електричен набој во таа затворена површина.^[5]

Гаусовиот закон има математичка сличност со бројни закони од други области на физиката, како што се: Гаусовиот закон за магнетизмот и Гаусовиот закон за гравитација. Всушност, секој обратно квадратно зависен закон може да се запише на начин сличен на Гаусовиот закон: на пример, Гаусовиот закон самиот по себе е еднаков на обратно квадратниот Кулонов закон, и Гаусовиот закон за гравитација е еднаков на обратно квадратниот Њутнов закон за гравитацијата.

Законот може да се изрази математички со користење на векторски формули во интегрална форма и во диференцирана форма, и двете форми се еквивалентни бидејќи се врзани со диференција на теоремата,исто така позната како Гаусова теорема. Секоја од овие форми може да се изрази на два начина: со однос помеѓу електричното поле $E$ и вкупното количесство електричесво, во смисла на електрично варијабилно поле $D$ и слободно количество електричество.^[6]

Равенки кои вклучуваат $E$ поле

Гаусовиот закон може да се констатира со помош на електричното поле $E$ или варијабилното поле $D$ . Овој дел покажува некои од облиците со $E$ ; облиците со $D$ подолу, како и други облици со $E$ .

Интегрален облик

Гаусовиот закон може да се изрази како:^[6]

\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

каде што $Φ E$ е електричниот проток низ затворена површина $S$ приложувајќи било кој волумен $V$ , $Q$ е вкупното количество електричество приложено со $V$ ,и $ε 0$ е електричната константа. Електричниот проток $Φ E$ е дефиниран како интегрална површинаl од електричното поле:

\Phi _{E}=

\scriptstyle _{S}

\mathbf {E} \cdot \mathbf {A}

каде $E$ е електричното поле, $d A$ е вектор кој го претставува бесконечниот елемент на просторот на површината,^{[note 2]} и $\cdot$ претставува точка од производ на два вектора.

Бидејќи протокот е дефиниран како интеграл од електричното поле, овој израз на Гаусовиот закон се нарекува интегрална форма.

Примена на интегралниот облик

Ако електричното поле е познато насекаде, со помош на Гаусовиот закон е можно да се најде дистрибуцијата на електричното полнење. Полнењето во секој зададен регион може да се доведе со интегрирање на електричното поле за да се најде протокот.

Обратниот проблем (кога дистрибуцијата на електричното полнење е позната и треба да се пресмета електричното поле)е многу потежок. Вкупниот проток низ зададената површина дава многу малку информации за електричното поле и може да излезе од површината во произволно комплицирани модели.

Исклучок е кога има симетрија во проблемот, што покажува дека електричното поле поминува низ површината по единствен начин. Тогаш ако целосниот проток е познат, полето само по себе може да биде доведено во секоја точка. Слични примери на симетрии што подлежат на Гаусовиот закон се : цилиндрична симетрија, рамна симетрија, и сферична симетрија. Погледни го делот одГаусовата површина каде што овие симетрии се претставени за да се пресмета електричното поле.

Диференцијален облик

Според теоремата за дивергенција, Гаусовиот закон може да се запише и во диференцирана форма:

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

каде што $\nabla \cdot E$ е диференцијата на електричното поле, ε₀е електричната константа, и $ρ$ е целосната густина на електричното поле (полнење спрема единица волумен).

Еднаквост на интегралниот и диференцијалниот облик

Интегралниот и диференцираниот облик се математички еднакви, според дивергентната теорема. Тука аргументот е многу поконкретен.

Доказ

Интегралниот облик на Гаусовиот закон е:

{\scriptstyle _{S}}

\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

за секоја затворена површина $S$ која содржи полнеж $Q$ . Според дивергентната теорема оваа равенка ќе биде еднаква на:

\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

за секоја зафатнина $V$ која содржи $Q$ . Со поврзаноста меѓу полнежот и густината на полнежот, оваа равенка е еднаква на:

\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V

за секоја зафатнина $V$ . За оваа равенка да биде истовремена вистинита за секоја посебна зафатнина $V$ , потребно (и доволно) е интеграндите да бидат насекаде еднакви. Затоа, оваа равенка е еднаква на:

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

Па следи дека интегралниот и диференцијалниот облик се еднакви.

Равенка која го вклучува $D$ полето

Слободен, сврзан и вкупен полнеж

Електричното полнење кое се јавува во наједноставните ситуации во учебниците би се класифицирало како "слободно полнење"—на пример, полнење кое се пренесува во статички електрицитет, или полнење на кондензаторска плоча. Спротивно на тоа, "сврзаниот полнеж" се јавува само во контекст на диелектрични (поларизирачки) материјали. (Сите материјали до одреден степен може да се поларизираат.) Кога таквите материјали се ставаат во надворешно електрично поле, електроните остануваат врзани за нивните соодветни атоми, но прескокнуваат микроскопско растојание како одговор на полето, така што тие се повеќе на една страна од атомот, во однос на другата. Сите овие микроскопски поместувања се додаваат за да се добие макроскопска распределба на нето полнењето, а тоа претставува "сврзан полнеж".

Иако микроскопски сите полнежи се фундаметално исти, често постојат практични причини, порадишто сврзаниот полнеж се третира различно од слободниот полнеж. Резултатот е дека по фундаменталниот закон на Гаус, во смисла на $E$ (погоре), понекогаш се става во еквивалентна форма подолу, што е однос од $D$ и слободниот полнеж.

Интегрален облик

Оваа формулација на Гаусовиот закон ја содржи целосната форма на полнежот:

\Phi _{D}=Q_{\mathrm {free} }

каде $Φ D$ е $D$ -полето електричен проток преку површината $S$ која го затвора волуменот $V$ , и $Q free$ е слободното полнење кое се содржи во $V$ . Протокот $Φ D$ е дефиниран аналогно на протокот $Φ E$ на електричното поле $E$ низ $S$ :

\Phi _{D}=

{\scriptstyle _{S}}

\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

Диференцијален облик

Диференцијалната форма на Гаусовиот закон, го вклучува само слободното полнење:

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }

каде $\nabla \cdot D$ е дивергенција на електричното изместено поле и $ρ free$ е густината на слободниот електричен полнеж.

Еднаквост на изразите за вкупниот и слободниот полнеж

Доказ дека формулациите од Гаусовиот закон во однос на слободниот полнеж се еквивалентни со формулациите кои го вклучуваат вкупниот полнеж.

Во овој доказ, ќе покажеме дека равенката

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

е еквивалентна со равенката

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }

Имајте на ум дека ние се занимаваме само со диференцијалните форми, а не со интегралните форми, но тоа е доволно бидејќи диференцијалните и интегралните форми се еквивалентни во секој случај, според теоремата за дивергенција.

Ние ја воведуваме густината на поларизацијата $P$ , која ја има следнава врска со $E$ и $D$ :

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}

и следнава врска со сврзаниот полнеж:

\rho _{\mathrm {bound} }=-\nabla \cdot \mathbf {P}

Сега разгледајте ги трите равенки:

{\begin{aligned}\rho _{\mathrm {bound} }&=\nabla \cdot (-\mathbf {P} )\\\rho _{\mathrm {free} }&=\nabla \cdot \mathbf {D} \\\rho &=\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} )\end{aligned}}

Клучниот увид е дека збирот од првите две равенки ја дава третата равенка. Ова го заокружува доказот: Првата равенка е точна по дефиниција, и затоа втората равенка е точна ако и само ако третата равенка е точна. Па следи дека втората и третата равенка се еквивалентни, што е она кое сакавме да го докажеме.

Равенка за линиски материјали

Во хомогени, изотропни, недиспрезивни, линеарни материјали, постои едноставна врска помеѓу $E$ и $D$ :

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}

каде $ε$ е диелектричност на материјалот. При случај на вакуум (т.е слободниот простор), $ε = ε 0$ . Под овие околности, Гаусовиот закон се модифицира во

\Phi _{E}={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}

за интегрална форма, и

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}

за диференцијална форма.

Толкувања

Преку полињата на сила

Теоремата на Гаус ноже да се толкува во смисла на силината на полето како што следува:

Полето на проток низ површината е бројот на силовите линии на полето кои продираат на површината. Ова ги зема предвид насоките на силовите линии кои продираат на површината разгледувана со знак минус во спротивна насока. Силовите линии започнуваат или завршуваат да се движат (почнувајќи од позитивниот крај до нагативниот крај), или одат до бесконечност. Бројот на силовите линии кои излегуваат од полнежот (почнувајќи) сепак, големината на овој полнеж (полнењето е дефинирано во моделот). (За сите негативни полнења на истото, само полнежот е еднаков на минус од бројот на неговиот член (завршува) линии. Врз основа на овие две одредби од теоријата на Гаус евидентно во изјавата е дека: бројот на линиите кои излегуваат од затворената површина е еднаков на вкупниот број на полнења во неа – тоа е бројот на линиите кои се појавуваат во неа. Се разбира дека се мисли на одржување на знаците, особено на линијата која започнува на површината на позитивниот полнеж и може да заврши со негативен полнеж во неа (ако постои), тогаш не дава придонес кон протокот, преку оваа површина, дури и пред да стигне да се ослободи, потоа влегува назад (или воопшто површината се пресекува доволен број пати, еднакво како од напред така и од спротивната насока), што дава нула придонес за протокот во збир со точниот знак. Истото може да се каже и за линиите кои започнуваат и завршуваат да се движат надвор од дадената површина, поради истата причина тие исто така даваат нула придонес за проток низ неа.

Поврзаност со Кулоновиот закон

Изведување на Гаусовиот закон од Кулоновиот закон

Гаусовиот закон може да биде изразен преку Кулоновиот закон.

Преглед на доказ

Кулоновиот закон вели дека електричното поле, поради стационарната точка на наелектризирање е еднакво на:

\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}

каде

e r

радијален единечен вектор,

r

е полупречникот,

| r |

,

ε 0

е електрична константа,

q

е полнењето на честичката, за која се претпоставува дека се наоѓа во координантниот почеток.

Користејќи го изразот од Кулоновиот закон, го добиваме вкупното поле во $r$ користејќи интеграл за собирање на полето во $r$ поради премало наелектризирање на секое друго место од $s$ во просторот, што дава:

\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s}

каде $ρ$ е густина на полнеж. Ако ја земеме дивергенцијата на двете страни од оваа равенка во однос на r, и ја користиме познатата теорема^[8]

\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )

каде $δ (r)$ е функсијата на Дирако делта, резултатот е

\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s}

Користејќи го "транслаторното движење" од функцијата на Дирако делта, стигнуваме до

\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},

што е диференцијален облик на Гаусовиот закон, како што е и барано.

Имајќи на ум дека Кулоновиот закон се однесува само на статички полнежи, нема причина да се очекува Гаусовиот закон да се држи до подвижните полнежи само врз основа на оваа деривација. Всушност, Гаусовиот закон се држи до подвижни полнежи и во тој поглед законот на Гаус е поопшт од Кулоновиот закон.

Изведување на Кулоновиот закон од Гаусовиот закон

Строго кажано, Кулоновиот закон не може да се изведе само од Гаусовиот закон, бидејќи Гаусовиот закон не дава никакви информации во врска со сферата на $E$ (види разложувањето на Хемхолц и Фарадеевиот закон). Сепак, Кулоновиот закон може да се докаже од Гаусовиот закон, ако се претпостави дека електричното поле од точката на полнење е сферично симетрично (оваа претпоставка како и самиот Кулонов закон е точна, ако полнењето е статично и приближно точна, ако полнењето е во движење).

Преглед на доказ

Земајќи ја

S

во интегрална форма од Гаусовиот закон да биде сферична површина со полупречник

r

, центрирана во точката на електризирање

Q

, имаме

\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

По претпоставка за сферна симетрија, интегрантот е константа која може да се извади од интегралот. Резултатот е

4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

каде $r̂$ е единечен вектор кој радијално се оддалечува од полнежот. Повторно со сферна симетрија, $E$ точки во радијална насока, па добиваме

\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}

што е во суштина еквивалентно на законот на Кулон. Така зависноста на обратниот квадратен закон на електричното поле во Кулоновиот закон следи од Гаусовиот закон.

Поврзано

Белешки

↑ The other three of Maxwell's equations are: Gauss' law for magnetism, Faraday's law of induction, and Ampère's circuital law
↑ More specifically, the infinitesimal area is thought of as planar and with area $d A$ . The vector $d A$ is normal to this area element and has magnitude $d A$ .^[7]

Цитати

↑ Duhem, Pierre. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (француски). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.
↑ Lagrange, Joseph-Louis (1773). „Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques“. Mémoires de l'Académie de Berlin (француски): 125.
↑ Gauss, Carl Friedrich. Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (латински). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1). Gauss mentions Newton's Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica proposition XCI regarding finding the force exerted by a sphere on a point anywhere along an axis passing through the sphere.
↑ Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. стр. 452–453.
↑ Serway, Raymond A. (1996). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics (4. изд.). стр. 687.
↑ ^6,0 ^6,1 Grant, I. S.; Phillips, W. R. (2008). Electromagnetism. Manchester Physics (2. изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
↑ Matthews, Paul (1998). Vector Calculus. Springer. ISBN 3-540-76180-2.
↑ See, for example, Griffiths, David J. (2013). Introduction to Electrodynamics (4. изд.). Prentice Hall. стр. 50.

Наводи

Jackson, John David (1998). Classical Electrodynamics (3. изд.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X. David J. Griffiths (6th ed.)

Надворешни врски

MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
section on Gauss's law in an online textbook Архивирано на 27 мај 2010 г.
MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.

[4] The other three of Maxwell's equations are: Gauss' law for magnetism, Faraday's law of induction, and Ampère's circuital law

[9] More specifically, the infinitesimal area is thought of as planar and with area $d A$ . The vector $d A$ is normal to this area element and has magnitude $d A$ .^[7]

[1] Duhem, Pierre. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (француски). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.

[2] Lagrange, Joseph-Louis (1773). „Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques“. Mémoires de l'Académie de Berlin (француски): 125.

[3] Gauss, Carl Friedrich. Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (латински). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1). Gauss mentions Newton's Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica proposition XCI regarding finding the force exerted by a sphere on a point anywhere along an axis passing through the sphere.

[5] Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. стр. 452–453.

[6] Serway, Raymond A. (1996). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics (4. изд.). стр. 687.

[GrantPhillips-7] 6,0 ^6,1 Grant, I. S.; Phillips, W. R. (2008). Electromagnetism. Manchester Physics (2. изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.

[8] Matthews, Paul (1998). Vector Calculus. Springer. ISBN 3-540-76180-2.

[10] See, for example, Griffiths, David J. (2013). Introduction to Electrodynamics (4. изд.). Prentice Hall. стр. 50.

[1]

[2]

[3]

[note 1]

[4]

[5]

[6]

[note 2]

[8]

[7]

Гаусов закон

Квантитативен опис

Равенки кои вклучуваат E поле

Интегрален облик

Примена на интегралниот облик

Диференцијален облик

Еднаквост на интегралниот и диференцијалниот облик

Равенка која го вклучува D полето

Слободен, сврзан и вкупен полнеж

Интегрален облик

Диференцијален облик

Еднаквост на изразите за вкупниот и слободниот полнеж

Равенка за линиски материјали

Толкувања

Преку полињата на сила

Поврзаност со Кулоновиот закон

Изведување на Гаусовиот закон од Кулоновиот закон

Изведување на Кулоновиот закон од Гаусовиот закон

Поврзано

Белешки

Цитати

Наводи

Надворешни врски

Равенки кои вклучуваат $E$ поле

Равенка која го вклучува $D$ полето