Ајзенштајнов цел број

Ајзенштајнов цел број (именуван по Готхолд Ајзенштајн), познат и како Ојлеров цел број (по Леонард Ојлер) — комплексен број од обликот:

Ајзенштајнови цели броеви во пресечните точки на триаголна решетка прикажана на комплексна рамнина.Eisenstein integers as intersection points of a triangular lattice in the complex plane

$z=a+b\omega ,$

каде a и b се цели броеви и

$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}$

е примитивен (нереален) кубен корен од единица. Ајзенштајновите цели броеви образуваат триаголна решетка во комплексната рамнина, за разлика од Гаусовите цели броеви коишто образуваат квадратна решетка во комплексната рамнина.

Особини

Ајзенштајновите цели броеви образувааат комутативен прстен од алгебарски броеви во алгебарското бројно поле Q(ω) — трето кружно поле. За да се покаже дека Ајзенштајновите цели броеви се алгебарски броеви, потребнно е да се одбележи дека секој z = a + bω е корен на единечниот полином:

$z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!$

Притоа, ω го задоволува равенството:

$\omega ^{2}+\omega +1=0.\,\!$

Производот од два Ајзенштајнови цели броеви $a+b\omega$ и $c+d\omega$ е зададен преку:

$(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .\,\!$

Нормата на Ајзенштајновиот цел број е само квадратот на апсолутната вредност, што може да се прикаже преку:

$|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

На тој начин, нормата на Ајзенштајновиот цел број секогаш е рационален број. Поради тоа што:

$4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!$

нормата на Ајзенштајновиот цел број различен од нула е позитивна.

Групата на единици во прстенот на Ајзенштајнови цели броеви е циклична група образувана од шестиот корен од единица во комплексната рамнина. Тие се:

{±1, ±ω, ±ω²}

Овие броеви се пример за Ајзенштајнови цели броеви со норма еднаква на еден.

Ајзенштајнови прости броеви

Главна статија: Ајзенштајнов прост број

Ако x и y се Ајзенштајнови цели броеви, се вели дека x е делив со y ако постои некој Ајзенштајнов цел број z којшто го задоволува равенството y = zx. Со ова се проширува поимот за деливост на редните броеви. Поради тоа, исто така може да се прошири и поимот за прост број. Така, Ајзенштајновиот цел број x којшто е различен од еден се вели дека е Ајзенштајнов прост број ако неговите единствени делители различни од еден се од обликот ux, каде што u е еден од шесте единици.

Ноже да се покаже дека рационален прост број со вредност 3 или е слладен на 1 со модул 3 е од обликот x² − xy + y² за некои цели броеви x, y и поради тоа може да биде разложен на (x + ωy)(x + ω²y), па оттаму произлегува дека не е Ајзенштајнов прост број. Редните прости броеви складни на 2 со модул 3 не можат да бидат разложени на овој начин и тие претставуваат Ајзенштајнови прости броеви.

Секој Ајзенштајнов цел број a + bω чијашто норма a² − ab + b² е рационален прост број е Ајзенштајнов прост број. Всушност, секој Ајзенштајнов прост број е од овој облик или е производ од единечен или рационален прост број складен на 2 со модул 3.

Евклидов домен

Прстенот на Ајзенштајновите цели броеви образува Евклидов домен, чијашто норма N е зададена преку:

$N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

Ова равенство може да се извде на следниот начин:

${\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}.\end{aligned}}$

Количник од C на Ајзенштајновите цели броеви

Количникот на комплексната рамнина C од решетката којашто ги содржи сите Ајзенштајнови цели броеви е комплексен торус со две димензии. Ова е еден од двата торуса со најголема симетричност меѓу сите такви комплексни торуси. Овој торус може да се добие преку одредување на сите од трите парови на спротивни страни на правилен шестаголник. Другиот торус со најголема симетричност е количникот на комплексната рамнина од додатната решетка на Гаусовите цели броеви и може да се добие преку одредување на секој од двата пара на спротивни страни на квадратен домен.

Поврзано

• Гаусов цел број
• Квадратен цел број

Литература

• David A. Cox: Primes of the form x2+n y2. Fermat, class field theory and complex multiplication. Wiley, New York 1989, ISBN 0-471-50654-0.
• Ferdinand Gotthold Eisenstein: Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten Zahlen. In: August Leopold Crelle (Hrsg.): Journal für die reine und angewandte Mathematik. Nr. 27, Georg Reimer, Berlin 1844, S. 289–310.
• Kenneth Ireland, Michael Rosen (Mathematiker): A Classical Introduction to Modern Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1990, ISBN 978-1-441-93094-1.
• Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Barcelona/Hong Kong/London/Milan/Paris/Singapore/Tokyo 2000, ISBN 3-540-66957-4.
• Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg/Singapur/Tokio/New York/Barcelona/Budapest/Hong Kong/London/Mailand/Paris/Santa Clara 1996, ISBN 3-540-58791-8.

Надворешни врски

• Ајзенштајнови цели броеви на MathWorld. (англиски)