Тангентен четириаголник

Тангентен четириаголник е секој четириаголник за кој важи дека кружница ги допира сите негови страни. Името тангентен потекнува од својството што секоја страна на четириаголникот е тангента на кругот.

Тангентен четириаголник со впишана кружница

Една од основните својства на тангентниот четириаголник:

Четириаголникот е тангентен ако и само ако симетралите на неговите внатрешни агли се пресекуваат во една точка.

Оваа особина го дефинира начинот на конструирање на центарот на впишаната кружница. Се конструираат симетралите на аглите и тие се сечат во центарот на впишаната кружница.

Исто така, важи и една важна особина поврзана со должините на страните:

Четириаголникот АБЦД е тангентен ако $|{\overline {AB}}|+|{\overline {CD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {BC}}|$ . Точно е и обратното - ако четириаголникот е тангентен, тогаш збирот на спротивните страни е меѓусебно еднаков.

Последицата е следна. Ако страниците се обележани со a, b, c, d, тогаш е

$a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s$

каде s е полупериметарот.

Ако страните на тангентниот четириаголник се a, b, c, d, и r е полупречник на впишаната кружница, тогаш неговата површина е дадена со формулата

$P={\frac {a+b+c+d}{2}}\cdot r$

Четириаголниците во кои истовремено може да се впише и опише кружница се нарекуваат бицентрични четираголници или тетивно-тангентни четириаголници.

Примери

Примери на тангентни четириаголници се: квадрат, ромб и делтоид.

Четириаголниците за кои со сигурност знаеме дека во нив не можат да се впишат кружници (не се тангентни) се паралелограмот и правоаголникот. Кај рамнокракиот трапез, постои посебен случај кога може да се впише кружница.

Некои својства на тангентниот четириаголник

Нека тангентниот четириаголник $ABCD\,$ е трапез ( ${\overline {AB}}\,||\,{\overline {CD}}$ ), чии дијагонали се сечат во одредена точка $O\,$.

Ако се $r_{1}\,$, $r_{2}\,$, $r_{3}\,$ и $r_{4}\,$ полупречници на кружници впишани во триаголниците $\Delta ABO\,$, $\Delta BCO\,$, $\Delta CDO\,$ и $\Delta DAO\,$, тогаш

${\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}$

И, исто така, ако $s_{1}\,$, $s_{2}\,$, $s_{3}\,$ и $s_{4}\,$ се полупериметри на триаголниците $\Delta ABO\,$, $\Delta BCO\,$, $\Delta CDO\,$ и $\Delta DAO\,$, тогаш

$\ s_{1}+s_{3}=s_{2}+s_{4}$

Формули

Математички формули за тангентни четириаголници
Плоштина	$A=r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)$
	$A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {p^{2}\cdot q^{2}-(a\cdot c-b\cdot d)^{2}}}$
	$A={\sqrt {(e+f+g+h)\cdot (e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f)}}$
	$A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d-(e\cdot g-f\cdot h)^{2}}}$
	$A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\beta +\delta }{2}}\right)$
Периметар	$U=2\cdot (a+c)=2\cdot (b+d)$
Должина на дијагоналите	$p={\sqrt {\frac {(e+g)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot f\cdot h)}{f+h}}}$
	$q={\sqrt {\frac {(f+h)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot e\cdot g)}{e+g}}}$
Полупречник на впишана кружница	$r={\frac {A}{a+c}}={\frac {A}{b+d}}$
	$r={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{e+f+g+h}}}$

Интересен посебен случај е кога тангентниот четириаголник го задоволува условот

$\alpha +\gamma =\beta +\delta$

Според оваа претпоставка, тангентниот четириаголник е истовремено тетивен четириаголник, т.е. четириаголник со впишана и опишана кружница. Формулата за плоштината на овие четириаголници е едноставна

$A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}$

Со помош на Питагоровата и косинусната теорема се добиваат должините на отсечките $k={\overline {PR}}$ и $l={\overline {QS}}$. Се применува

$k={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+f)\cdot (g+h)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}$

$l={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+h)\cdot (f+g)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}$

Ова резултира со соодносот на должините

${\frac {k}{l}}={\sqrt {\frac {(f+g)\cdot (e+h)}{(e+f)\cdot (g+h)}}}={\sqrt {\frac {b\cdot d}{a\cdot c}}}$

Поврзано

• Тетивен четириаголник
• Тетивно-тангентен четириаголник

Литература

• Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте, Математископ.