Трапез

Трапез
Трапезот има две паралелни страни
Вид	Четириаголник
Рабови и темиња	4
Плоштина	h · (a+b)/2
Обем	a+b+c+d

Во геометрија, трапез е испакнат четириаголник со точно еден пар паралелни страни. Има три „типа“ на трапези.

• Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
• Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина.
• Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.

Трапези		Рамнокрак трапез	Правоаголен трапез

• Паралелните страни се викаат основи и (обично) се означуваат со a и b. (За полесно означување земаме a>b.)
• Непаралелните страни се викаат краци и (обично) се означуваат со c и d
• Растојанието помеѓу паралелните страни се вика висина и (обично) се означува со h.

Формули и особини за општ трапез

Нека е даден трапез со основи (паралелни страни) a и b, со краци c и d и со висина h.

Периметар

$L=a+b+c+d$

Плоштина

$P={\frac {(a+b)}{2}}\cdot h$

• Бидејќи секој трапез е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
• Плоштината на еден трапез се одредува со должините на двете основи и висината. Меѓутоа, само со тие информации, трапез не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни трапези со истите основи и висина.
• Бидејќи секој крак на трапез е и трансверзала на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
• Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапезот не се еднакви: a≠b. (Доколку a=b, четириаголникот би имал два пара на паралелни страни, па би бил паралалелограм, а не трапез.)
• Еден трапез е потполно определeн со должините на четирите страни (и знаење кои страни се паралелни). Mеѓутоа од секоја комбинација на четири должини не се добива трапез (види подолу).

Висина

$h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|a-b|}}$

Основна поставка: Трапез со основи a и b и краци c и d постои ако и само ако h постои, т.е. ако и само ако поткорениот израз во погорната формула за h е позитивен број.

Во подолните примери, a и b се основите (паралелните страни).

Пример: Нека е a=12m, b=10m, и h=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m². Meѓутоа, трапезот не може еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.

Пример: Нека е a=19mm, b=8mm, c=7mm и d=6mm. Користејќи ја формулата за висина h, поткорениот израз е 5760>0 и h=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46,57mm² (приближно)

Пример: Нека е a=19mm, b=7mm, c=4mm и d=5mm. Користејќи ја формулата за висина h, поткорениот израз е -9009<0. Нема трапез со овие димензии.

Терминологија

Во САД и Канада се користи зборот трапезоид (trapezoid) за трапез, а зборот трапезиум (trapezium) за трапезоид (без паралелни страни). Вон САД и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи ја и Р.М., односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.

Рамнокрак трапез

Трапез во кој непаралелните страни се складни, т.е. со иста должина се вика рамнокрак трапез. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли кај секоја основа се еднакви (складни). Рамнокрак трапез е потполно определен ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, h, d, или a-b каде што α е кој било агол, h е висината , c е (кој било) крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.

Пример: Нека е a=9 cm, h=3 cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тогаш ^{(a - b)}/₂ = ^h/_tan(45°) = ^3 cm/₁ = 3 cm и a - b=6 cm и b=3 cm. c = ^h/_sin(45°) = 3√2 cm =4,24 cm. Горните внатрешни агли се по 180°-45°=135°.

Пример: Нека е a=5 cm, h=3 cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тогаш ^{(a - b)}/₂ = ^h/_tan(45°) = ^3 cm/₁ = 3 cm и a - b=6 cm и b= -1 cm. Таков трапез не постои.

Правоаголен трапез

Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика правоаголен трапез. Од суплементноста на внатрешните агли на секој крак на трапез следува дека правите агли доаѓаат во парови, т.е. ако еден внатрешен агол е прав агол, тогаш и другиот агол на тој крак е прав. Меѓутоа, четириаголник со 4 прави агли е правоаголник, а истиот има два пара на паралелни страни, а во Р Македонија таков четириаголник не се смета за трапез (се бара точно еден пар паралелни страни.)

Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, h, d, или a-b каде што α е кој било од неправите агли, h е висината (и едниот крак), d е косиот крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.

Пример: Нека е a=7 cm, d=4 cm и α=30° e аголот помеѓу a и d. Тоѓаш a-b = d · sin(30°) = 4 cm · 0,5 = 2 cm и b=5 cm; h=d · cos(30°) = 2√3 cm =3,46 cm. Четвртиот агол е 180°-30°=150°.

Рамнокрак трапез	Правоаголен трапез		Средна линија m на трапез

Плоштина, средна линија и висина на трапез

Отсечката која ги сврзува средните точки на краците (непаралелните страни) на еден трапез се вика средна линија.

• Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
• Должината на средната линија m е половина од збирот на основите a и b:

$m={\frac {a+b}{2}}$

Плоштината Р на трапез со средна линија m:

$P={\frac {a+b}{2}}\cdot h=m\cdot h$

Плоштината Р на трапез со основи a, b и краци c и d:

$P={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.$

Кога една од паралелните страни „се смалува“ на точка (на пример b = 0), трапезот „станува“ триаголник со страни 'a, c и d и погорната формула се редуцира на Херонова формула за плоштина на триаголник.

Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:

$P={\frac {a+b}{|a-b|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}},$   каде што   $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$   е полуобем на трапезот.

Трапез и неговите дијагонали (Геогебра интерактивност)

Дијагонали на трапез

Должините на дијагоналите се:

$p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{a-b}}}$

$q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{a-b}}}$

Карактеризации на трапез

За даден испакнат четириаголник, следните особини се еквивалентни и се и доволен услов четириаголникот да има барем еден пар паралелни страни:

• Има два соседни агли кои се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
• Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата дијагонала.
• Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е ист со односот помеѓу должините на паралелните страни).
• Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
• Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар ја имаат истата плоштина.

Понатаму, на еден трапез:

• Средните точки на основите (паралелните страни) и пресекот на дијагоналите се колинеарни.
• Отсечката која ги спојува средните точки на основите ја дели плоштината на половина.

Друго

Во калкулус и бројчена математика се користи таканаречениот метод на трапези за приближно пресметување на површина под позитивна рамнинска крива, односно за приближно пресметување на определен интеграл на соодветната функција f:R->R во одреден интервал.

Тежиште, односно центар на маса или центроид на трапез со униформна густина е пресекот на отсечката која ги спојува средните точки на основите и правата паралелна со основите која е на растојание x од поголемата основа каде што:

$x={\frac {h}{3}}\left({\frac {a+2b}{a+b}}\right).$

Поврзани теми

• Четириаголник
• Паралелограм
• Паралелни прави
• Испакнат многуаголник
• Тежиште

Надворешни врски

• Интерактивно објаснување за трапез Архивирано на 16 септември 2013 г. (македонски)
• Интерактивно објаснување за рамнокрак трапез Архивирано на 26 април 2012 г. (македонски)
• Trapezoid definition   Area of a trapezoid   Медијана на трапез интерактивни (англиски)
• Numerical Methods for STEM Undergraduates (англиски)