Неравенство на максимум и минимум

Во математиката, неравенството на максимум и минимум гласи: за која било функција $f:Z\times W\to \mathbb {R}$,

$\sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w).$

Кога еднаквоста важи, тогаш се вели дека f, W и Z задоволуваат строго макс-мин својство. Како што илустрира функцијата f(z,w)=sin(z +w), ова равенство не секогаш е задоволено. Теорема што ги дава условите за f, W и Z со цел да се гарантира ова својство се нарекува минимакс теорема.

Доказ

Се дефинира $g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w)$ .

$\forall w\in W,\forall z\in Z,g(z)\leq f(z,w)$

$\Longrightarrow \forall w\in W,\sup _{z\in Z}g(z)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)$

$\Longrightarrow \sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)$

$\Longrightarrow \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)\qquad \square$

Поврзано

• Минимакс теорема

Наводи

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004), Convex Optimization (PDF), Cambridge University Press