Константна функција: Разлика помеѓу преработките

с
ситна поправка
с (ситна поправка)
с (ситна поправка)
[[Image:wiki_constant_function_175_200.png|thumb|right|Константна функција ''y''(''x'')=4]]
 
Во [[математика]]та, '''константна функција''' е [[функција]] чија (излезна) вредност е иста за секоја влезна вредност, т.е. функцијата враќа една иста вредност.<ref>{{cite book|title=Encyclopedia of Mathematics|last1=Tanton|first1=James|year=2005|publisher=Facts on File, New York|isbn=0-8160-5124-0|page=94}} {{en}}</ref><ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009}} стр.|page=175|language=англиски|accessdate=јануари {{en2014}}</ref><ref>{{cite book|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics|last1=Weisstein|first1=Eric|publisher=CRC Press, London|isbn=0-8493-9640-9|year=1999|page=313}} {{en}}</ref> На пример, функцијата &nbsp;<math>y(x)=4</math>&nbsp; или &nbsp;<math>y=4</math>&nbsp; е константна функција бидејќи вредноста на &nbsp;<math>y(x)</math>&nbsp; е 4 независно колку е вредноста на &nbsp;<math>x</math>&nbsp; (види слика).
 
== Основни својства ==
Графикот на константна функција &nbsp;<math>y(x)=</math>&nbsp; е '''хоризонтална права''' во [[рамнина]]та која минува низ точката <math>(0,c)</math>.<ref>{{cite web|title=College Algebra|last1=Dawkins|first1=Paul|year=2007|publisher= Lamar University|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Alg.aspx|page=224|language=англиски|accessdate=јануари 2014}}</ref> [[Домен]]от, т.е. множеството на [[Допуштени вредности (математичко образование)|допуштените вредности]] на константна функција е &#8477; (сите реални броеви). Иако не фигурира независно променливата ''х'' од десна страна, се смета дека се врши „празна замена“ на ''х'' со што се добива едната иста вредност, т.е. вредноста ''с''. Сликата или [[Домен|кодомен]]от, т.е. множеството на излезните вредности е множеството со еден елелемент {''c''}.
 
:'''Пример:''' На пример, &nbsp;<math>y(x)=-1</math>&nbsp; или само &nbsp;<math>y=-1</math>&nbsp; е таа константнаконстантната функција со &nbsp;<math>c=-1</math>&nbsp;. Имено, ''y''(0)=-&ndash;1, ''y''(-&ndash;2.7)=-&ndash;1, ''y''(&pi;)=-&ndash;1,.... Независно од влезната вредност ''x'', излезната вредност е ''y''=-&ndash;1.
 
:'''Пример од живот:''' Продавница каде што секој производ се продава за 1 евро може да се смета како константна функција.
 
Во контекст на [[полином| полиномни функции]] со една независно променливапроменливата ''х'', не-нулта константна функција е полином од степен 0, &nbsp;<math>f(x)=c \, , \,\, c \neq0</math>&nbsp;. Оваа функција '''нема''' пресек со ''x''-оската, односно функцијата нема нула ([[корен]]). Од друга страна, &nbsp;<math>f(x)=0</math>&nbsp; е '''идентично нулта функција''', и е (тривијална) константна функција каде што секоја ''x'' е корен. Графикот на оваа функција е самата ''х''-оска (во рамнината).<ref>{{cite book|title=Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition|last1=Carter|first1=John A.|last4=Marks|first4=Daniel|last2=Cuevas|first2=Gilbert J.|last3=Holliday|first3=Berchie|last5=McClure|first5=Melissa S.|publisher=Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co|year=2005|isbn=978-0078682278|chapter=1|edition=1|page=22}} {{en}}</ref>
 
Константна функција е [[парна и непарна функција|парна функција]], т.е. графикот на константна функција е симетрична во однос на ''y''-оската.
 
Во контекст каде што е дефиниран, [[извод]] на една функција ја мери брзината на промена на зависно променливата во однос на независно променливата. Бидејќи кај константна функција нема<math>y(x)=c</math> не се променаменува, нејзиниот извод е нула во секоја точка ''x'', односно <math>(c)'=0</math>&nbsp;.<ref>{{cite web|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeProofs.aspx|title=Derivative Proofs|year=2007||last1=Dawkins|first1=Paul|publisher= Lamar University|language=englishанглиски|accessdate=January 2014}}</ref> односно <math>(c)'=0</math>&nbsp;.
 
:'''Пример:''' Дадена е константната функција &nbsp;<math>y(x)=-\sqrt{2}</math>&nbsp;. Изводот на ''y'' е идентично нулта функција &nbsp;<math>y'(x)=(-\sqrt{2})'=0</math>&nbsp;.
 
Обратното важи. Имено, ако изводотоизводот ''у''&#39;(''x'')=0 зае ситеидентично ''х''нултата функција, следува дека ''у''(''x'') е константна функција.<ref>{{cite web|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function|title=Zero Derivative implies Constant Function|language=englishанглиски|accessdate=January 2014}}</ref> Во доказот се користи [[Теореми_за_средна_вредност|теорема за средна вредност]].
 
==Обопштување==
Функција ''f''&nbsp;:&nbsp;''A'' → ''B'' е константна функција ако ''f''(''X'') = ''f''(''Y'') за секој ''X'' и ''Y'' во ''A''.
 
:'''Пример:''' ''z''(''x'',''y'')=2 е константна функција од ''А''='''R²''' и ''B''='''R''' каде што секој ''X''=(''x'',''y'') се пресликува во 2. Графикот на оваа константна функција е рамнината во простор која е паралелна со ''х''0''у'' рамнината и која врви низ точката (0,0,2). Друг пример: ''z''(''x'',''y'')=0 e идентично нулта функција чиј график е ''х''0''у'' рамнината во простор.
 
:'''Пример:''' [[Поларна функција|Поларната функција]] ''&rho;''(''&phi;'')=2,5 е константната функција каде што секој ''агол'' &phi; се пресликува во ''радиусот'' &rho;=2,5. Графикот на оваа константна функција е кружницата со радиус 2,5 во рамнината.