Квадрат: Разлика помеѓу преработките
| [проверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
с Bot: Migrating 114 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q164 (translate me) |
Нема опис на уредувањето |
||
Ред 1:
{{Инфокутија Многуаголник
| name = Квадрат
| image =
| caption = Квадрат е четириаголник со 4 еднакви страни и 4 еднакви агли (по 90°)
| type = [[Четириаголник]]
| edges = 4
| schläfli = {4}
| coxeter = {{CDD|node_1|4|node}}
| symmetry =
|
|
| angle =
| properties = [[конвексно множество|конвексен]]
}}
<div style="line-height:2em">
Во [[геометрија]]та, '''квадрат''' е рамна, т.е. 2-димензионална геометриска фигура со четири еднакви страни и четири прави агли.<ref name=Oxford>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=744|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} </ref><ref>{{cite web | url=http://www.mathopenref.com/square.html| title =Square | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} интерактивен </ref>
* Формално, квадрат се дефинира како [[четириаголник]] со четири складни страни (со истата должина) и со четири складни агли (со истата големина).
** квадрат е [[паралелограм]] бидејќи спротивни страни се складни.
** квадрат е [[ромб]] бидејќи 4-те страни се складни.
** квадрат е [[правоаголник]] бидејќи 4-те внатрешни агли се по 90°.
*Квадрат има [[вртежна симетрија]] од 4-ри ред, т.е. ако го ротираме квадратот <sup>360°</sup>/<sub>4</sub>=90° се добива истиот паралелограм.
*Квадрат е [[правилен многуаголник]] бидејќи сите 4 страни се складни (рамностран) и сите 4 агли се складни (рамноаголен).
'''Основна регулатива: '''Квадрат е [[потполна опреленост|потполно определeн]] со должината на страна.
</div>
== Формули и особини за квадрат==
Нека е даден квадрат со страна ''a''. Во долунаведените формули точката · означува множење.
'''Периметар'''
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|-
| <math>L = 4 \cdot a </math>
|}
</div>
'''Плоштина'''
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|-
| <math>P = a \cdot a=a^2 </math>
|}
</div>
'''Дијагонала'''
<div style="margin-left:15px;">
{| style="border:1px solid black; background-color:#EEEEEE; padding:4px"
|-
| <math>d = a \cdot \sqrt{2} </math>
|}
</div>
'''Пример:''' Нека е даден квадрат со страна ''a''=5km. Тогаш, периметарот e L=4·''a''=4·5km=20km. Плоштината е P=''a''·''a''=5km·5km=25km<sup>2</sup> (квадратни километри). Дијагоналите се складни и: d=5km·√2 ≈7,07km.
'''Пример:''' Нека е даден квадрат со дијагонала ''d''=14,14mm. Тогаш страната на квадратот е ''a''=<sup>14,14mm</sup>/<sub>√2</sub>=10mm. Перимeтарот е L=4·''a''=4·10mm=40mm, а плоштината е P=''a''·''a''=10mm·10mm=100mm<sup>2</sup>.
<div style="margin-left:15px;">
{| class="wikitable"
|-
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_def_w.svg|168п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_nor.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_bis.svg|135п]]
|align="center"|[[Податотека:kvadrat_diag_4.svg|135п]]
|- style="font-size:86%; line-height:1.5em"
|align="center" width="168"|Квадрат има 4 еднакви страни и 4 прави агли.
|align="center" width="145"|Дијагоналите се сечат под прав агол.
|align="center" width="155"|Дијагоналите ги преполо- вувват аглите (на 45°).
|align="center" width="155"|Дијагоналите се складни и се преполовуваат.
|}
</div>
*Бидејќи секој квадрат е [[четириаголник]], збирот на внатрешните агли е 360°.
*Бидејќи секој квадрат има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
*Бидејќи секој квадрат е [[паралелограм]], дијагоналите се преполовуваат.
*Бидејќи секој квадрат е [[ромб]], дијагоналите се сечат под прав агол и дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли (така да се по <sup>90°</sup>/<sub>2</sub>=45°
*Бидејќи секој квадрат е [[правоаголник]], дијагоналите се складни (со истата должина).
==Карактеризации на квадрат==
Четириаголник е квадрат ако и само ако било кој од следните изкази и вистинит
*Четирите страни се еднакво должни и четирите внатрешни агли се по 90°.
*Дијагоналите се еднакво должни и се сечат под прав агол (90°).
*Дијагоналите го поделува четириаголникот на 4 складни рамнокрак триаголници.
Потаму квадрат е:
*Паралелограм со еден прав агол и два напоредни складни страни.
*Правоаголник со два напоредни складни страни.
*Ромб со еден прав агол.
*Ромб со 4 складни агли.
[[Податотека:Straight_Square_Inscribed_in_a_Circle_240px.gif|frame|Конструкција на квадрат во опишана кружница]]
==Опишана и впишана кружница на квадрат==
<div style="line-height:2em">
*Квадрат е '''[[тетивен четириаголник]]''', т.е. има [[опишана кружница]] таква да сите четири темиња на квадратот се точки на кружницата.
:Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден [[конвексно множество|конвексен]] четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180°. Значи квадрат е тетивен четириаголник.<ref name=Usiskin>{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |chapter=10. Cyclic quadrilaterals |chapterurl=http://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=63–65 |series=Research in mathematics education}}</ref>
<div style="margin-left:15px">
'''Формула:''' Радиусот ''R'' на опишаната кружница е половина од дијагоналата ''d'' на квадратот, односно
:<math>R=\frac{d}{2}=\sqrt{2}a</math>
</div>
*Квадрат е '''[[тангентен четириаголник]]''', т.е. има [[впишана кружница]] таква да сите четири страни на квадратот се тангенти на кружницата.
:Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден [[конвексно множество|конвексен]] четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи квадрат е тангентен четириаголници.<ref name=Andreescu>{{cite book|last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Enescu|first2=Bogdan| title=Mathematical Olympiad Treasures| publisher=Birkhäuser|year=2006|pages=64–68|isbn=978-0817682521}}.</ref>
<div style="margin-left:15px">
'''Формула:''' Радиусот ''r'' на впишаната кружница е половина од страната ''а'' на квадратот, односно
:<math>r=\frac{a}{2}</math>
</div>
</div>
*Квадрат е бицентрични четириаголник бидејќи e и тангентен и тетивен.
==Други факти==
*Дијагоналите на квадрат се <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> (приближно 1.414) пати поголеми од страната на квадратот. Оваа вредност, т.е. квадратен корен од 2 се вика [[Питагорова константа]] и е [[ирационален број|ирационален]].<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html|title=Pythagoras's Constant|last=Weisstein| first=Eric W.|publisher=MathWorld--A Wolfram Web Resource|language=англиски|accessdate=Септември 2013}}</ref>
*Ако геометриска фигура е и правоаголник (прави агли) и ромб (4 складни страни), тогаш е квадрат.
*Плоштината на опишаната кружница <sup>π</sup>/<sub>2</sub> (приближно 1.571) пати поголема од плоштината на квадратот.
*Плоштината на впишаната кружница е <sup>π</sup>/<sub>4</sub> (приближно 0.7854) пати помал од плоштината на квадратот.
*Квадрат има поголема плоштина од било која четириаголник со истиот периметар.<ref>{{cite web|url=http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html|title=I am the greatest|first=V.L.|last=Hansen|publisher=Mathematics in School Vol.25, No.4|year=1996|pages=10-11|language=англиски|accessdate=Септември 2013}}</ref>
==Обопштување на квадрат==
*Обопштување во 3Д: [[Коцка]] е [[полиедар]] со 6 страни, секоја од која е квадрат.
==Не-Евклидова геометрија==
Во не-Евклидова геометрија, квадрати се ''општи'' многуаголници со 4 слкадни страни и 4 складни агли.
Во сферична геометрија, квадрат е многуаголник чии страни се рамнодолжни лакови од [[голем круг|големи кругови]], кои се споени на секое теме со складни агли. За разлика од евклидска геометрија во рамнина, аглите на таков квадрат се поголеми од 90°.
Во хиперболична геометрија, квадрати со прави агли не постојат. На против, квадрати во хиперболична геометрија имаат агли кои се помали од 90°.
'''Примери:'''
{| class="wikitable"
|- style="font-size:86%; line-height:1.5em" align="center"
|width=250|[[Image:Square on sphere.svg|200px]]<br>Сфера може плочкеско да се нареди со 6 квадрати така да секое теме е теме на 3 квадрати со внатрешни агли од 120°.<br/> Шлефлиев симбол е {4,3}.
|width=250|[[Image:Square on plane.svg|200px]]<br>Евклидската рамнина може плочкеско да се нареди со квадрати така да секое теме е теме на 4 квадрати со внатрешни агли од 90°.<br/> Шлефлиев симбол е {4,4}.
|width=250|[[Image:Square on hyperbolic plane.png|200px]]<br>Хиперболична рамнина може плочкеско да се нареди со квадрати така да секое теме е теме на 5 квадрати со внатрешни агли од 72°.<br/> Шлефлиев симбол е {4,5}.
|}
==Наводи==
{{наводи}}
== Поврзани теми ==
*[[Правоаголник]], [[Ромб]], [[Паралелограм]]
*[[Четириаголник]], [[Трапез]]
*[[Многуаголник]]
==Надворешни линкови==
*{{cite web|url=http://wiki.geogebra.org/mk/Правилен_многуаголник_Алатка| title=Геогебра алатка: Правилен многуаголник |author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=Септември 2013}}
*{{cite web|url=http://euler.slu.edu/escher/index.php/Introduction_to_Non-Euclidean_Geometry|title=Introduction to Non-Euclidean Geometry|publisher=EscherMath, St. Louis University|year=2011|last1=Bart|first1=Anneke|last2=Clair|first2= Bryan|language=англиски|accessdate=Септември 2013}}
[[Категорија:Четириаголник]]
[[Категорија:Многуаголник]]
[[Категорија: Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Математичко образование]]
| |||