Отсечка: Разлика помеѓу преработките
| [проверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
с Bot: Migrating 51 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q166154 (translate me) |
Проширана содржина вклучувајќи елементарна геометрија |
||
Ред 1:
[[Податотека:
Во [[геометрија]], '''отсечка''' се опишува како дел од [[Права (геометрија)|права]] помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.<ref>{{cite web | url=http://www.mathopenref.com/linesegment.html| title =Line Segment | publisher =Math Open Reference}} интерактивен {{en}}</ref>
* Во [[Евклидова геометрија|Евклидовата геометрија]], за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со <math>\overline{AB}</math> .
* Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
* Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.
==Дефиниција на отсечка==
Нека А и В се две посебни точки. Отсечката <math>\overline{AB}</math> е множеството на сите точки <math>C=A(1-t)+Bt</math> каде што <math>t \in [0,1]</math> .
==Средина (средна точка) на отсечка==
[[Податотека:wiki_otsecka_primer_va.png|right|frame|С e средната точка на отсечката - '''[http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Otsechka <br />Oди на интерактивноста]''' <ref>{{cite web | url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Otsechka| title =Отсечка | publisher =Л.Стојановска}} интерактивен {{mk}}</ref>]]
Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката <math>\overline{AB}</math> е точката <math>C=\frac{A+B}{2}</math> .
Средната точка е: <math>C=\left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right)</math> .
'''Пример:''' Нека <math>A=(-1,3)</math> и <math>B=(2,1)</math>. Средната точка на отсечката <math>\overline{AB}</math> e: <math>C=\left( \frac{-1+2}{2},\frac{3+1}{2} \right)=(0,5;2) </math>.
*Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-''t'')+B''t'' каде што ''t''=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].
''Пропорционалноста'' важи и потаму. Например, се заменува ''t''={{Дропка|1|3}} за да се добие точката C на отсечката која е {{Дропка|1|3}} од патот од А до В: <math>C= \frac{2}{3} \cdot A + \frac{1}{3} \cdot B</math> .
==Должина на отсечка==
[[Податотека:Segment_length.gif|right|frame|Доказ: Должина на отсечка со Питагорова теорема ]]
Должината на <math>\overline{AB}</math> e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со <math>| \overline{AB} | \,=\, \delta_{A,B}</math>.
Во 2-димензионален простор:
*Должина на '''отсечка паралелна со ''х''-оската''', односно со крајни точки A=(''x''<sub>1</sub>,''y'') и B=(''x''<sub>2</sub>,''y'') со истата у-координата и ''x''<sub>2</sub>>''x''<sub>1</sub> е: <math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = x_2-x_1</math>.
*Должина на '''отсечка паралелна со ''y''-оската''', односно со крајни точки A=(''x'',''y''<sub>1</sub>) и B=(''x'',''y''<sub>2</sub>) со истата x-координата и ''y''<sub>2</sub>>''y''<sub>1</sub> е: <math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = y_2-y_1</math>.
*Точки: <math>A=(x_1,y_1)</math> <math>B=(x_2,y_2)</math>. Должината на <math>\overline{AB}</math> е:
<math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>
'''Пример:''' Нека <math>A=(-1,3)</math> и <math>B=(2,1)</math>. Должината на отсечката <math>\overline{AB}</math> e: <math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(2-(-1))^2+(1-3)^2}=\sqrt{13} \approx 3,6</math>.
Во 3-димензионален простор:
*Точки: <math>A=(x_1,y_1,z_1)</math> <math>B=(x_2,y_2,z_2)</math>. Должината на <math>\overline{AB}</math> е:
<math>\delta_{A,B} = | \overline{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}</math>
Доказ: Се користи Питагорова теорема.<ref>http://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GCG3/Ldistance.htm {{en}}</ref>
*Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што ''x''<sub>2</sub>>''x''<sub>1</sub> и ''y''<sub>2</sub>>''y''<sub>1</sub>. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |''x''<sub>2</sub> - ''x''<sub>1</sub>| и |''y''<sub>2</sub> - ''y''<sub>1</sub>|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|''x''|)<sup>2</sup>=''x''<sup>2</sup>, знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
*Во 3Д: Два пати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка <math>B'=(x_2,y_2,z_1)</math> со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина ''z''=''z''<sub>1</sub>. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што <math>| \overline{AB'} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>. Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека <math>| \overline{BB'} | = \sqrt{(z_2-z_1)^2}</math> за да се доби дадената формула.
==Крајни точки==
Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.
*крајна точка е '''вклучена''' во отсечката ако точката е означена со '''полна кружница''' и
*крајна точка е '''исклучена''' во отсечката ако точката е означена со '''празна кружница''' и
Има 4 можни случаи.
*затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
*отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
*полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
*полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.
{| border="1" cellpadding="5"
|- align="center"
| width="180"|[[Податотека:Wiki_otsecka_closed.png|150px]]<br /> Затворена отсечка<br />C=A(1-''t'')+B''t'', ''t'' ∈ [0,1]
| width="180"|[[Податотека:Wiki_otsecka_open.png|150px]]<br /> Отворена отсечка<br />C=A(1-''t'')+B''t'', ''t'' ∈ (0,1)
| width="180"|[[Податотека:Wiki_otsecka_half-open.png|150px]]<br /> Полуотворена отсечка<br />C=A(1-''t'')+B''t'', ''t'' ∈ [0,1)
| width="180"|[[Податотека:Wiki_otsecka_half-open_2.png|150px]]<br /> Полуотворена отсечка<br />C=A(1-''t'')+B''t'', ''t'' ∈ (0,1]
|}
==Ориентирана отсечка==
При дефиницијата: C=A(1-''t'')+B''t'', ''t'' ∈ [0,1] следува дека
* Кога ''t''=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
* Кога ''t''=1, C=В e крајната точка на отсечката.
Тоа значи дека самиот интервал ''t'' ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.<ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009}} Directed Line Segment стр.237 {{en}}</ref>
===Параметарски облик на отсечка===
Нека се дадени две точки <em>А</em>(<em>x</em><sub>1</sub>,<em>y</em><sub>1</sub>,<em>z</em><sub>1</sub>) и <em>B</em>=(<em>x</em><sub>2</sub>,<em>y</em><sub>2</sub>,<em>z</em><sub>2</sub>).
*Параметарски облик на ориентираната отсечка која почнува во А, а завршува во В е ограничување на [[%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B0_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0)#.D0.92.D0.BE_3.D0.94_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80:_.D0.BD.D0.B8.D0.B7_.D0.B4.D0.B2.D0.B5_.D1.82.D0.BE.D1.87.D0.BA.D0.B8| параметарскио облик на правата која врви низ А и В]] за ''t'' ∈ [0,1], односно
<math>\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x(t) = {x_1}+{a}t }\\ {y(t) = {y_1}+{b}t }\\{z(t) = {z_1}+{c}t } \end{array}} \right.</math> каде што <math>{ a = (x_2-x_1)}, \, { b = (y_2-y_1)} , \, { c = (z_2-z_1)}</math> , <math>t \in [0,1]</math> <ref>http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LineIntegralsPtI.aspx {{en}}</ref>
(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)
==Отсечка и векторски простори==
Ако ''V'' е [[векторски простор]] над <math>\mathbb{R}</math> или <math>\mathbb{C}</math>, и ''L'' е [[подмножество]] на ''V'', тогаш ''L'' е (затворена) '''отсечка''' ако ''L'' може да се пиши во параметарски облик како: <math>L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}</math> за некои вектори <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!</math>. Во тој случај векторите '''u''' и {{nowrap|'''u''' + '''v'''}} се викаат крајните точки на ''L''. (Ако ''t'' ∈ (0,1), отсечката е ''отворена''.) <ref>http://planetmath.org/LineSegment {{en}}</ref>
==Литература==
{{наводи}}
==Поврзани теми==
*[[Права (геометрија)]]
*[[Полуправа]]
*[[Интервал (математика)| Интервал]]
*[[Наклон]]
*[[Аналитичка геометрија]]
*[[Крива (математика)|Крива]]
==Надворешни линкови==
*[http://wiki.geogebra.org/mk/Отсечка_Наредба Геогебра наредба: Отсечка] {{mk}}
* http://www.youtube.com/watch?v=iA-kpdSz4mw видео за пресметување на должина на отсечка {{en}}
* http://en.wikipedia.org/wiki/Line_segment {{en}}
[[Категорија: Елементарна геометрија]]
[[Категорија: Геометрија]]
[[Категорија: Математичко образование]]
| |||