Трапез: Разлика помеѓу преработките
| [проверена преработка] | [проверена преработка] |
Избришана содржина Додадена содржина
Создадена страница со: {{Инфокутија Многуаголник | name = Трапез | image = Trapez1_w.svg|200п | caption = Трапез | type ... |
Нема опис на уредувањето |
||
Ред 1:
{{Инфокутија Многуаголник
| name = Трапез
| image = Trapez1_w.svg|
| caption = Трапез има две паралелни страни
| type = [[Четириаголник]]
| edges = 4
Ред 12:
| properties =
}}
<div style="line-height:1.2em">
Во [[геометрија]], '''трапез''' е [[конвексно множество|конвексен]] [[четириаголник]] со '''точно''' еден пар паралелни страни. Има три 'типови' на трапези.<ref name=Oxford />
* Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
* Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина.
* Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.
</div>
{| class="wikitable"
|- align="center" height=95px
|[[Податотека:Trapez1_w.svg|
||[[Податотека:Trapez2_w.svg|
|[[Податотека:Trapez_iso_w.svg|
|[[Податотека:Trapez_prav_w.svg|
|- align="center"
| colspan=2 | Трапези
Ред 29 ⟶ 31:
|}
*Паралелните страни се викаат '''основи''' и (обично) се означуваат со ''a'' и ''b''
*Непаралелните страни се викаат '''краци''' и (обично) се означуваат со ''c'' и ''d''
*Растојанието помеѓу паралелните страни се вика '''висина''' и (обично) се означува со ''h''.
== Формули и особини за општ трапез==
Нека е даден е трапез со основи ''a'' и ''b'', со краци ''c'' и ''d'' и со висина ''h''.
'''Периметар'''
:<math>L = a + b + c + d</math>
'''Плоштина'''
:<math>P = \frac{(a+b)}{2}\cdot h </math>
<div style="line-height:1.2em">
*Плоштина на еден трапез се одредува со должините на основите и висината. Меѓутоа, самиот трапез не е еднозначно определен со тие информации. (Постојат безбројно многу различни трапези со истите основи и висина.)▼
*Бидејќи секој трапез е [[четириаголник]], збирот на внатрешните агли е 360°.
▲*Плоштина на еден трапез се одредува со должините на
*Бидејќи секој крак на трапез е и [[трансверзала]] на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се [[суплементарни агли|суплементарни]], т.е.
*Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапез не се еднакви: '''''a''≠''b'''''. (Доколку ''a''=''b'', четириаголникот би имал ''два пара на паралелни страни'', па би бил паралалелограм, а не трапез.)
*
</div>
'''Висина''' <ref name=Mathworld/>
:<math>h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|a-b|}</math> ▼
▲*Должините на четирите страни, односно должините на основите (паралелните страни) и краци. Mеѓутоа секоја комбинација на четири должини немора да дефинира трапез (види подолу).
==Терминологија==▼
Во УСА и Канада се користи зборот трапезоид за трапез (точно еден пар паралелни страни), а зборот трапезиум (trapezium) за [[четириаголници|трапезоид]] (без паралелни страни).<ref>{{cite web | url=http://www.mathopenref.com/trapezoid.html| title =Trapezoid | author =Math Open Reference}} {{en}} интерактивен</ref> Надвор од УСА и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи и Р.М., односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.<ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009}} стр.791 {{en}}</ref>▼
<div style="line-height:1.2em">
==Рамнокрак трапез==▼
Во подолните примери, ''a'' и ''b се основите (паралелните страни).
Трапез во кој непаралелните страни се [[складност|складни]], т.е. со истата должина се вика '''рамнокрак трапез'''. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли на секоја основа се еднакви ([[складност|складни]]). Рамнокрак трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и мерка на две од α, ''h'', ''d'', или ''a-b'' каде што α е било кој [[агол]], ''h'' е висината , ''c'' е (било кој) крак и ''a-b'' е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината ''b-a'' може да се знае и должината на ''другата'' основа. ▼
'''Пример:''' Нека е ''a''=12m, ''b''=10m, и ''h''=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m<sup>2</sup>. Meѓутоа, трапезот неможе еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.
Пример: Нека е ''a''=9cm, ''h''=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тоѓаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup> / <sub>tan(45°)</sub> = <sup>3cm</sup>/<sub>1</sub> = 3cm и ''a - b''=6cm и ''b''=3cm. ''c'' = <sup>''h''</sup>/<sub>sin(45°)</sub> = 3√2 cm =4,24cm. ''Горните'' внатрешни агли се по 180°-45°=135°.▼
'''Пример:''' Нека е ''a''=19mm, ''b''=8mm, ''c''=7mm и ''d''=6mm. Користејќи ја формулата за висина ''h'', подкорениов израз е 5760>0 и ''h''=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46.57mm<sup>2</sup> (приближно)
Пример: Нека е ''a''=5cm, ''h''=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тоѓаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup> / <sub>tan(45°)</sub> = <sup>3cm</sup>/<sub>1</sub> = 3cm и ''a - b''=6cm и ''b''= -1cm. Таков трапез не постои.▼
'''Пример:''' Нека е ''a''=19mm, ''b''=7mm, ''c''=4mm и ''d''=5mm. Користејќи ја формулата за висина ''h'', подкорениов израз е -9009<0. Нема трапез со овие димензии.
</div>
{| class="wikitable"▼
▲==Терминологија==
|- align="center" ▼
▲Во
| [[Податотека:trapez_iso2_w.svg|330п]]▼
| [[Податотека:trapez_right2_w.svg|270п]]▼
|- align="center"▼
▲Трапез во кој непаралелните страни се [[складност|складни]], т.е. со истата должина се вика '''рамнокрак трапез'''. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли
|Правоаголен трапез ▼
|}▼
▲'''Пример:''' Нека е ''a''=9cm, ''h''=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тоѓаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup>
▲'''Пример:''' Нека е ''a''=5cm, ''h''=3cm и α=45° нека e аголот помеѓу ''a'' и ''c''. Тоѓаш ''<sup>(a - b)</sup>/<sub>2</sub>'' = <sup>''h''</sup>
==Правоаголен трапез==
Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика '''правоаголен трапез'''. Од суплементарноста на
Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и мерка на две од α, ''h'', ''d'', или ''a-b'' каде што α е било кој од неправите агли, ''h'' е висината (и едниот крак), ''d'' е косиот крак и ''a-b'' е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината ''b-a'' може да се знае и должината на ''другата'' основа.
'''Пример:''' Нека е ''a''=7cm, ''d''=4cm и α=30° e аголот помеѓу ''a'' и ''d''. Тоѓаш ''a-b'' = ''d'' · sin(30°) = 4cm · 0,5 = 2cm и ''b''=5cm; ''h''=''d'' · cos(30°) = 2√3cm =3,46cm. Четвртиот агол е 180°-30°=150°.
▲{| class="wikitable"
▲|- align="center"
|
| [[Податотека:trapez1_midline_w.svg|250п]]
▲|- align="center"
▲|Правоаголен трапез
|
| Средна линија ''m'' на трапез
▲|}
==Плоштина, средна линија и висина на трапез==
Отсечката која ги сврзува средините точки на
*Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
*Должината на средната линија ''m'' е половина од збирот на основите ''a'' и ''b'':
:<math>m = \frac{a + b}{2} \cdot h </math>
Плоштината ''Р'' на трапез со средна линија ''m'':
:<math>P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h </math>
▲:<math>h= \frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|a-b|}</math>
▲*Трапез со основи ''a'' и ''b'' и краци ''c'' и ''d'' постои ако и само ако ''h'' постои, т.е. ако и само ако подкорениов израз е позитивен број.<ref>Quadrilateral Formulas, ''The Math Forum'', Drexel University, 2012, [http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.quad.html]. {{en}}</ref>
Ред 110 ⟶ 126:
Кога една од паралелните страни "се смалува" на точка (на пример ''b'' = 0)
Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:<ref name=Mathworld>{{
:<math>P = \frac{a+b}{|a-b|}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)},</math> каде што <math>s = \tfrac{1}{2}(a + b + c + d)</math> е [[полупериметар]] на трапезот.
[[Податотека:Trapez_char.gif|frame|right|Трапез и неговите дијагонали (Геогебра интерактивност)<ref>{{cite web |url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Trapez|title=Трапез - Интерактивност 3|author= Л.Стојановска}} {{mk}}</ref>]]
==Дијагонали на трапез==
Должините на [[дијагонала|дијагоналите]] се:<ref name=Mathworld/>
:<math>p= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ac^2+bd^2}{a-b}}
:<math>q= \sqrt{\frac{ab^2-a^2b-ad^2+bc^2}{a-b}}</math>
==Карактеризации на трапез==
За даден конвексен четираголник, следните особини се еквивавалентни и се и доволен услов
*Има два соседни агли кои се суплементарни, т.е. се собираат до 180°.
*Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата дијагонала.
*Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е
*Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
Ред 143 ⟶ 159:
==Друго==
Во [[калкулус]] се користи така
[[
:<math>x = \frac{h}{3} \left( \frac{a+2b}{a+b}\right).</math>
Ред 156 ⟶ 172:
== Поврзани теми ==
*[[Четириаголник]]
*[[Паралелограм]]
*[[Конвексно множество]]
*[[Тежиште]]
Ред 171 ⟶ 188:
[[Категорија:Многуаголници]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:
[[Категорија:Математичко образование]]
| |||