Википедија

Линеарна функција: Разлика помеѓу преработките

Интерактивен преглед на историјата
[проверена преработка][проверена преработка]
← Постаро уредувањеПоново уредување →
Избришана содржина Додадена содржина
НагледноВикитекст
Нема опис на уредувањето
сНема опис на уредувањето
Ред 6:
 
*Линеарна функција се дефинира како [[полином| полиномна функција]] од прв степен од една [[независно променлива]] ''х''&nbsp;<ref>http://www.sparknotes.com/math/precalc/polynomialfunctions/section1.rhtml</ref><ref>http://www.unco.edu/NHS/mathsci/facstaff/Roberson/CourseDocs/MATH%20182/Activities/Linear%20Functions.pdf</ref>, од што следува дека:
**Во [[#Експлицитен облик|експлицитен облик]] имаме: &nbsp;&nbsp;<brmath>f ( x )=a x + b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y(x)=ax+b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y = a x + b, \, a \neq 0</math>.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f ( x )=a x + b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y(x)=ax+b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y = a x + b, \, a \neq 0</math>.
**Бидејќи тука ''а''&ne;0, опаѓаат [[Константна функција|константни функции]] (хоризонтални прави) и остануваат само '''коси''' прави во рамнината.
**Оваа дефиниција има природно место помеѓу [[константна функција]] и [[квадратна функција]].
Ред 13 ⟶ 12:
 
*Линеарна функција се дефинира како [[функција (математичко образование)|функција]] чиј график е [[права (геометрија)|права]] во [[рамнина (геометрија)|рамнина]]&nbsp;<ref>Clapham, Nicholson (1990) Oxford Concise Dictionary of Mathematics, pp.480</ref><ref>Gelfand, Glagoleva, Shnol (2002) '''Functions and Graphs'''</ref>, од што следува дека:
**Во [[#Експлицитен облик|експлицитен облик]] имаме: &nbsp;&nbsp;<brmath>f ( x )=a x + b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y(x)=ax+b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y = a x + b</math>.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>f ( x )=a x + b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y(x)=ax+b</math> &nbsp;или&nbsp; <math>y = a x + b</math>.
**Во оваа дефиниција се вклучени и хоризонтални прави <em>y</em>=<em>b</em>, односно константни полиноми. (Вертикални прави <em>x</em>=<em>b</em> не се [[функција (математичко образование)|функциии]].)
**Забелешка: оваа дефиниција е <strong>без условот <em>a</em>&ne;0</strong>.
Ред 31 ⟶ 29:
Забелешка: Често пати наизменично се користаат термини ''[[линеарна равенка]]'' и ''линеарна функција'', но не се исти термини. '''Линеарна функција е линеарна равенка, но обратното не важи.''' (При ''линеарна равенка'', зборот ''линеарна'' се однесува на степенот на полиномот кој може да има 1,2,3,... променливи така да линеарна равенка во една променлива е точка на бројната оска, ''линеарна равенка во две променливи е права во рамнина'', линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор.) Види [[линеарна равенка]].
 
 
[[Податотека:wiki_3lines.png|thumb|Три линеарни функции во екплицитен облик (црвената и кафеавата го имаат истиот градиентнаклон (косинакоефициент на правец, наклонградиент, косина);, а црвената и зелената ја имаат истата пресечна точка со ''у''-оската.]]
 
==Основни својства==
 
[[Коефициент (математика)|Коефициентите]] ''a'' и ''b'' се [[константа (математика)|константи]], односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а остануваат ''x'' и ''y'' како [[Променлива (математика)|променливи]]. На пример: ''у''(''x'') = -''x''+2 е линеарна функција со ''a''=-1 и ''b''=2. Множеството на [[Допуштени вредности (математичко образование)|допуштени вредности]] на секоја линеарна функција е '''R''', т.е. сите реални броеви. Значи, било кој реален број може да „влези“ во линеарна функција, односно да биде замената за ''х'' во функцијата. Сликата, т.е. множеството на сите излезни вредности исто така е '''R''', т.е. сите реални броеви.
 
Формално, ''f''(''x'') е линеарна функција, ''f'':'''R'''→'''R''' дефинирана со ''f''(''x'') = ''ax''+''b'' каде птошто ''a'',''b''&isin;'''R''' ие линеарна функција. Линеарна фунцкија е 1-1 [[инјективнабијективна функција]].
 
Правата која е графикот на линеарна функција е множеството на сите точки: (''x'',''y''(''x'')). Поради тоа што две точки определуваат една права, при графичко претставување на линеарна функција, доволно е да се заменува две различни вредности за ''x'' во линеарната функција, да се пресметаат двете вредности на ''y'', соодветните точки (''x''<sub>1</sub>,''y''(''x''<sub>1</sub>)) и (''x''<sub>2</sub>,''y''(''x''<sub>2</sub>)) да се внесат во рамнината и права да се црта низ нив. <ref>http://emathforall.com/wiki/RecnikT/LinearnaFunkcija</ref>
Ред 44:
Има три облици на линеарна функција: <strong>[[#Стандарден облик|стандарден облик]]</strong>, <strong>[[#Експлицитен облик|експлицитен облик]]</strong> и <strong>[[#Параметарски облик|вектор - параметарски облик]]</strong>
 
Пример за применаПримена на линеарна функција - Пример: Брзина ''v'' како функција на време ''t'' на предмет истрелен директно нагоре со почетна брзина ''v''<sub>0</sub> се опишува со линеарната функција: ''v''(''t'')=9.81''t''+''v''<sub>0</sub> &nbsp;[m/s], каде што 9,81 &nbsp;[m/s<sup>2</sup>] e гравитациона константа. Тука времето <em>t</em> ја игра улогата на независно променливата ''х'', а брзината ''v'' е зависно променливата ''y''.
 
 
Ред 64:
Константниот коефициент ''b'' е т.н. ''у''-пресек, односно точката <strong>(0,''b'')</strong> е точката каде што правата врви низ ''у''-оската. Бројот {{Дропка|-b|а}} е т.н. <strong>корен</strong> на функцијата, односно точката ({{Дропка|-b|а}},0) е точката каде што правата врви низ ''х''-оската.
 
Коефициентот ''а'' е т.н. ''[[ГрадиентНаколон (математика)|градиентнаклон]]'' или ''наклонкоефициент на правец'' или ''градиент'' или ''косина'' на правата и ја опишува брзината на промена на функцијата ''у'' во однос на променливата ''х''.
* Градиентот на права е константен; градиентотНаклонот на линеарна функција ''у''(''x'')=''ax''+''b'' е константнаконстантен функцијаи "градиенте еднаков на ''у''" =''a''.
* Ако наклонот на две прави е ист, правите или се [[паралелност|паралелни]] или се совпаѓаат.
* Ако градиентотнаклонот на една права е ''a'', тогаш за било која точка (<em>х</em>,<em>у</em>) на правата, точката (<em>х</em>+1, <em>y</em>+<em>a</em>) лежи на правата. (Види слика надесно.)
* Ако градиентотнаклонот ''a''&gt;0 тогаш линеарната функција монотоно расте, ако ''a''&lt0 тогаш функцијата монотоно опаѓа. Ако |''a''|&lt;1 тогаш градиентотнаклонот е благ, а ако |''a''|&gt;1 тогаш градиентотнаклонот е оштар.<ref>http://www.shodor.org/interactivate/activities/SlopeSlider/</ref>
 
 
Ред 73 ⟶ 74:
 
 
Во математичката дициплина [[диференцијално сметање]] (калкулус) е дефиниран поимот [[извод]], а извод на една функција ја мери брзината на промена на една променлива во однос на друга во секоја точка. Кај линеарна фунцкија брзината на промената на <em>у</em> во односно на <em>х</em> е константна, т.е. иста во сите точки, односно е <em>а</em> за сите (реални) вредности <em>х</em>, и папишуваме извододизводот на ''у''(''x'')=''ax''+''b'' постои секаде и е константната функција ''у''&#39;(''x'')=''a''.
 
 
Ред 87 ⟶ 88:
 
 
Пример: '''X'''=(-1,1)+''t''(2,3). Тука: ''a''<sub>1</sub>=2, ''a''<sub>2</sub>=3, ''bx''<sub>1</sub>=-1 и ''by''<sub>21</sub>=1. Правата врви низ точкитеточката (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)=(-1,1) и точката (x<sub>1</sub>+a<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>)=(1,4). Соодветниот параметарски облик на оваа права е: ''x''(''t'')=-1+2''t'', ''y''(''t'')=1+3''t''. Експлицитен облик на оваа права е: ''y''(''x'')=1,5''x''+2,5 &nbsp; (решејќи ја првата равенка по ''t'' и заменувајќи го резултатот во втората равенка). Една форма на стандарден облик за оваа права е: -3''x''+2''y''=5.
 
 
Преземено од „https://mk.wikipedia.org/wiki/Линеарна_функција“